Lanczos/Arnoldi/Rietz/CG-like算法共享相同的核心策略......在每一个中，都会出现一个小奇迹，大多数Gram-Schmidt内积都是零！换句话说，新方向只需要使用先前更新的搜索方向（或在 Lanczos 情况下为两个）进行正交归一化，无需检查其他先前的方向（因为零）。相当大的奇迹当$A$是稀疏的并且$n = 10^6$.

在非线性逆/特征问题的情况下，此属性不正确，但取决于“非线性率”，这些值可能很小并且很容易被忽略或阈值，因为算法的迭代性质假设残差必须在每个步。所以这个属性仍然有用。

欢迎任何建议来理解为什么新方向“已经”与所有（先前+1）方向的集合正交。数学是可以的，但这件事背后有一个很深的原理。它看起来像一个同时发生的隐藏的三对角化过程。有没有简单的方法来处理这个把戏？