假设我想的随机分区上使用黎曼和或达布和，如下图所示：$\int_0^1 x^2\,dx$$[0,1]$

这里，[0,1] 的“” 分区包含分区点，$[0,1]$$16$

$$P=\{0, 0.048499, 0.097571, 0.25324, 0.28515, 0.4087, 0.45946, 0.53824, 0.62423 0.67352, 0.72305, 0.84254, 0.85201, 0.87255, 0.91006, 1\}$$

是随机创建的，对应的下 Darboux 和（以红色显示）=和上 Darboux 和（以蓝色显示）=，我们得到了 $0.292536$$0.377436$$\int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3} = 0.333333\ldots$

您建议阅读哪些书籍或其他资源来严格处理此类问题，理论（只是用于解决此类问题的数学理论）和实践（以这种方式在计算机上近似积分）？

我正在考虑需要解决的一些挑战：

一、什么是随机分区？需要严格定义...

其次，它们的点根据其他概率分布（例如高斯分布或其他分布）分布的分区呢？我们如何知道哪个概率分布（概率上）会给出近似积分的最佳结果？

第三，我们如何回答诸如“积分的近似值与积分的精确值相差在以内的概率”之类的问题？$0.5$, 即我们如何计算像

$$P\left\{\int_0^1 x^2 \,dx - 0.5 < \text{LOWER SUM}<\int_0^1 x^2\,dx < \text{UPPER SUM} < \int_0^1 x^2\,dx + 0.5\right\} \text{?}$$

谢谢...