考虑一个随机变量，它由一个参数中的正交多项式展开（或多项式混沌展开 PCE）给出，即

$$f(\alpha) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \hat{f} (n) \psi _n (\alpha) \, ,$$

其中均匀分布在中， 是正交勒让德多项式$\alpha$$[-1,1]$$\psi _n (\alpha)$

$$\hat{f} = \frac{1}{2}(f,\psi _n )_{L^2[-1,1]} \, .$$

我的问题：仅使用和的概率分布函数 (PDF) 是否存在封闭形式公式或近似值？$f$$\psi _n$$\hat{f} (n)$

这与这篇文章有些相关，我之前在 MO 上问过这里