我有兴趣解决许多线性系统，其中是对称正定且小（即少于 25,000 行）---会发生变化。我们可以假设来自于任意形状域的非结构化网格上的 3D 弹性方程的 FEM 离散化。
我正在寻找一种方法，它比稀疏求解器使用更少的内存，并且一个解决方案所需的时间不到两倍的向前向后。
在这些假设下，您会推荐哪种算法？
如果您能提及为什么它对小矩阵（即少于 25,000 行）有效，我将不胜感激。对于这样的矩阵大小，我相信，即使算法是前面的常数也很重要。
针对小问题的线性求解器推荐
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线性求解器
2021-12-23 15:51:40
3个回答
对于单个（可能是几个），我发现 Conjugate Gradient 可以击败 Cholesky factorization 。为此，我使用了 MKL 的 Inspector-Executor 稀疏矩阵向量乘积和以下内容：mkl_sparse_d_mv
- 一个很好的重新排序（
COLAMD并METIS为我工作）。这加快了每个矩阵向量乘积。为了避免每次都进行置换操作，我重新排序了我的 FEM 网格的节点，以便我和是“预先重新排序的”。这也可能对您的直接方法有所帮助。 - 在解决之前，我打电话给
mkl_sparse_set_mv_hint，这对性能有巨大的影响。为此，您需要对收敛所需的迭代进行良好估计。最好的估计是使用之前解决方案所需的任何内容（简单！）。因此，第一次求解会慢一些，但会通知后续求解。我怀疑这必须付出一些代价，尽管我不确定它是什么。 - Jacobi（对角线）预处理器。简单，几乎没有成本。
- 放宽剩余范数停止标准。我不需要机器 epsilon，而是使用更大一点的东西，但没有太多以至于我什至可以注意到差异。
- 使用一个不错的初始猜测可以减少一两次迭代。如果您能够获得一个非常好的初始猜测，那么它可能很重要。
通过所有这些技巧，超节点 Cholesky 分解（使用CHOLMOD）在速度方面非常接近。但是，它有它的用途。
对于这个小的、稀疏的直接求解器比大多数迭代求解器更快的问题，即使您包括分解的成本。因此，我不相信您将能够为迭代求解器找到一个预处理器，它的工作成本低于前向后向求解器的两倍。您要么必须支付稀疏直接求解器的内存成本，要么支付迭代方法的运行时成本，但您不能同时拥有这两种方式。
您可以将 Krylov 迭代求解器与预处理器一起使用。由于您提到您感兴趣的问题是线性弹性，因此假设您使用标准技术，您最终会得到对称的正定矩阵。对于这种情况，您可以将共轭梯度方法与 ILU 预条件器一起使用。
这些求解器有多种语言版本。如果您使用 MATLAB，那么您可以调用MATLAB中的内置函数。对于 Python，您可以使用SciPy。对于 C++，您可以使用Eigen库。