计算科学 - 有限体积法中的通量符号和面法线混淆 - 吾爱随笔录

有限体积法中的通量符号和面法线混淆

计算科学有限体积离散化网格生成开放式泡沫传播热量

2021-12-09 16:37:56

我实现了二维稳态热方程的求解器（没有热量产生和均质材料），使用有限体积法，但是，我对通量方向和面法线有些困惑。 $\nabla. (k\nabla T) = 0$

首先，使用散度定理（应用于网格元素）：

\int_{V} \nabla . (k \nabla T) d V = \oint_{S} (k \nabla T . n) d S = 0

$\int_V \nabla. (k\nabla T) \ dV = \oint_S (k\nabla T .n) \ dS = 0$

其中是垂直于的向外指向单位向量。并且该方程可以进一步离散化为（使用具有单个积分点的高斯求积）： $n$ $S$

\sum_{f a c e s} (\nabla T . n) S_{f} = 0

$\sum_{faces} \ (\nabla T .n) S_f = 0$

我的 Python 求解器导入一个简单的笛卡尔 (100 x 100 x 1) OpenFOAM 网格（边界、点、面、所有者和邻居），将离散方程应用于每个单元并生成稀疏系数矩阵使得。 $A$ $AT = b$

最初，我得到了错误的结果，因为我发现我正在执行以下操作：

每个内部单元格有四个相邻的单元格（：北，：南，：东，：西） $c$ $n$ $s$ $e$ $w$

当通过假设和任意相邻细胞）之间线性变化时： $\frac{\partial T}{\partial x}$ $T$ $c$ $i$ $\frac{\partial T}{\partial x} = \frac{T_{c} - T_{i}}{d_{c i}}$ $\frac{\partial T}{\partial x} = \frac{T_c - T_i}{d_{ci}}$

第一个错误：我对所有相邻的单元格都使用了这个公式，这对于东面和北面的单元格都是正确的，但是在评估西面和南面时，它应该是。 $T_i - T_c$

第一个问题：我认为减法的顺序无关紧要，因为它会被通量方向校正（下一个问题）。那么为什么减法的顺序很重要呢？

导入所有者-邻居 OpenFOAM 网格关系后，我假设通量始终是从所有者到邻居的方向，因此基本上指向单元外，而对于相邻面，n 基本上是指向内部。 $n$

第二个错误：这也导致了错误的系数矩阵，当我纠正为始终指向单元面外时，一切正常。 $n$

第二个问题： 我应该总是让面法线指向元素之外吗？如果，那么假设通量总是离开细胞，这在物理上是正确的吗？（以及为什么首先要有业主邻居关系）。

抱歉，这个问题很长，但我认为通过提供我的完整方法，我的困惑对读者来说会很清楚。

3个回答

在处理像您的情况这样的守恒定律时，您通常可以利用散度定理（就像您所做的那样）。然后，您可以表示积分区域内的总质量由以下表面积分保留：

\oint_{\partial Ω} k \nabla T \cdot n \partial S = 0

$\oint_{\partial \Omega} k \nabla T \cdot \mathbf{n} ~\partial S = 0$

现在，就目前而言，指向哪个方向无关紧要，只要它在这个表面积分上是一致的。 $\mathbf{n}$

当您采用的方向向外指向的约定时，您说被传输出去的总质量为零。当您说法线指向内部时，您可以将通量整合到单元中，可以这么说。语句是等价的。当您有源术语时，必须采取适当的措施使符号保持一致。 $\mathbf{n}$

在更数学的语言中，您可能有两种完全正确的高斯定理公式，一种具有向内指向的法线，另一种具有向外指向的法线：

规范的，向外指向的高斯定理：

\int_{V} div \vec{F} d^{(n)} V = \oint_{S} \vec{F} \cdot {\vec{n}}_{o u t} d^{(n - 1)} S

$\int_V \operatorname{div} \vec F \; \mathrm d^{(n)}V = \oint_{S} \vec F \cdot \vec n_{out}\; \mathrm d^{(n-1)}S$

非规范的，向内指向的高斯定理： \ int_V

\int_{V} div \vec{F} d^{(n)} V = - \oint_{S} \vec{F} \cdot {\vec{n}}_{i n} d^{(n - 1)} S

$\int_V \operatorname{div} \vec F \; \mathrm d^{(n)}V = - \oint_{S} \vec F \cdot \vec n_{in}\; \mathrm d^{(n-1)}S$

这些陈述当然是等价的。在第二种情况下，您只需在 rhs 上有一个标志

我不想增加混乱。共识是，对于任何给定的控制体积始终具有指向外的法线，并且许多守恒定律都是以这种方式编写的，但是它有一个约定的元素。如果您在代码中始终使用此约定，则流出一个单元格（负号）的质量将添加到相邻单元格。

法线方向取决于您正在为其编写方程式的单元格。向外这个词是相对于正在研究的单元格的。为了写出每个单元格的方程，即 $\Sigma \nabla T.n S_f=0$ ，坚持这一点： $\nabla T_{face}=\frac{T_c-T_i}{r_c-r_i}$ 并假设 $n$ 作为该面的向外指向法向量。我认为您的问题是您在代码的某些地方错误地引入了两个负号；分母中的一个 $\frac{T_c-T_i}{r_c-r_i}$ 一个在法线向量中 $n$ . OpenFOAM 将细胞分类为所有者和邻居，以确定向外的方向。