线性代数基本定理的一部分是 \mathbf A 的核/零空间与的范围正交。通过将分解应用于，您可以生成正交投影。矢量就是你要找的。下面是一个简短的 matlab 演示：$\mathbf A$$\mathbf A^T$$\mathbf Q \mathbf R$$\mathbf A^T$$\mathbf P = \mathbf I - \mathbf Q \mathbf Q^T$$\mathbf P \mathbf x$

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% Form random A and x.
m = 23;
n = 39;
A = rand(m,n);
x = rand(n,1);

% Find Q = span(A')
[Q,~] = qr(A',0);

% Decompose x = Qx + Px
Qx = Q*(Q'*x);
Px = x-Qx;
norm_Px = norm(Px)
norm_Qx = norm(Qx)
error_x = norm(x-Px-Qx)

% Verify Px is in nullspace of A.
error_APx = norm(A*Px)

如果太大但具有可利用的结构（稀疏性？某种 H 矩阵，如秩不足？），您可能最好使用随机抽样/Krylov 思想，而不是密集分解.$\mathbf A$$\mathbf Q \mathbf R$