计算科学 - 求解非线性偏微分方程的 GMRES 与 Newton-GMRES - 吾爱随笔录

通常在数值求解非线性偏微分方程时，使用带隐式积分器的直线逼近法，必须求解非线性方程组。更具体地说，假设我们有简单的反向欧拉方法：

\begin{aligned} y^{n} = y^{n + 1} - h f (y^{n + 1}, t) = G (y^{n + 1}, t) \end{aligned}

$\begin{align} y^{n}=y^{n+1}-h f(y^{n+1},t)= G(y^{n+1},t) \end{align}$ 从现有文献来看，似乎最常用的方法是使用 Newton-GMRES 方法来求解非线性系统，尤其是在刚性系统的情况下。据我所知，使用 GMRES 是因为它是一种无矩阵方法，因此也适用于向量函数，这在用有限差分逼近雅可比行列时很好。

那么我的问题是，为什么不直接使用 GMRES 来解决最初的问题呢？我看不出 GMRES 无法解决这个问题的原因 $y^{n+1}$ 对于 Newton-GMRES，我们何时求解系统：

\begin{aligned} H (y_{k}^{n + 1}) & = y_{k}^{n + 1} - y^{n} - h f (y_{k}^{n + 1}, t) \to 0 for k \to \infty \\ J v & ≃ \frac{H (y_{k}^{n + 1} + ϵ v) - H (y_{k}^{n + 1}))}{ϵ} ≃ - H (y_{k}^{n + 1}) \\ y_{k + 1}^{n + 1} & = y_{k}^{n + 1} + v \end{aligned}

$\begin{align} H(y^{n+1}_k) &= y^{n+1}_k-y^{n}-h f(y^{n+1}_k,t)\rightarrow 0 \text{ for } k\rightarrow \infty\\ Jv &\simeq \frac{H(y^{n+1}_k+\epsilon v)-H(y^{n+1}_k))}{\epsilon} \simeq -H(y^{n+1}_k)\\ y^{n+1}_{k+1}&=y^{n+1}_k+v \end{align}$ 其中 GMRES 用于第二部分查找

v

$v$ . 我不明白为什么要解决

v

$v$ 与 GMRES 后跟牛顿步骤应该比解决顶部的一般系统更容易/更好

y^{n + 1}

$y^{n+1}$ 使用 GMRES？与一般系统相比，雅可比的有限差分逼近是否具有更好的性质

y^{n} = G (y^{n + 1}, t)

$y^n=G(y^{n+1},t)$ ?