我发现如果我将径向域减少到$8 \leq r \leq 20$，条件数下降到 ~10,000。这让我觉得我需要扩展我的问题。

但是，我不确定如何执行此操作，并且我需要正确执行此操作。

无量纲化部分是链式法则的重复应用，部分是艺术。目标是使方程中的数量尽可能接近 1。在大多数情况下，它涉及通过“物理相关”比例因子来缩放自变量和因变量。有时，这些比例因子是显而易见的（例如，只有一个长度比例很重要，而长度比例是域的长度/半长/等），有时它们不是（例如，我有几个参考重要的电压，我需要选择一个）。

对于没有经验的人，我想说，专注于无量纲化的机制。选择你认为有意义的参考参数（相信你的直觉，或者如果你认为有用，请查看文献），然后对你的方程进行无量纲化，求解它们，看看会发生什么。看看你从方程中得到了什么物理见解，并考虑极限情况。

维基百科在这里是一个很好的参考。我也喜欢 Deen 的运输现象分析中的讨论。

我是否必须在两个维度或物理参数中应用比例因子？也就是说，如果我将半径缩放一个因子$L$（例如 $R = r/L$），我是否还必须缩放其他物理量（例如电流密度$J = j L^3$，或加速度$A = \frac{\Delta v / L}{\Delta t}$)?

你不必。仅对某些量进行无量纲化是有效的，特别是在某些变量难以无量纲化或已经无量纲化的情况下。这种情况经常发生在燃烧应用中，其中物质的质量分数已经是无量纲的（尽管通常在几个数量级上变化），并且很难以类似的速率变化（在几个数量级内）的方式进行缩放）。最好的做法是尽可能地对方程进行无量纲化，因为这些缩放是一种自然的前置条件。

我能想到的对无量纲化的唯一反驳是它确实需要额外的工作和思考，并且需要注意确保在代码中正确实现缩放因子。由于单位选择不当而导致的任何病态有时可以通过明智地使用预处理器来克服，但通常，无量纲化更可取，因为它提供了洞察力（通过白金汉 pi 定理，无量纲化产生影响方程的最小参数组）。