计算科学 - 将隐式欧拉与二阶微分方程一起使用 - 吾爱随笔录

将隐式欧拉与二阶微分方程一起使用

计算科学计算物理学一体化微分方程结石

2021-12-22 20:44:08

我们可以使用 Euler 方法对一阶微分方程进行数值积分，如下所示：

y_{n + 1} = y_{n} + h f (t_{n}, y_{n})

$y_{n+1} = y_n + hf(t_n, y_n)$

并且像这样使用隐式欧拉：

y_{n + 1} = y_{n} + h f (t_{n + 1}, y_{n + 1})

$y_{n+1} = y_n + hf(t_{n+1},y _{n+1})$

如果我有一个微分方程 $y' - ky = 0$ , 我可以整合 $y$ 数值使用隐式欧拉：

y_{n + 1} = y_{n} + h k y_{n + 1}

$y_{n+1} = y_n + hky_{n+1}$

y_{n + 1} = y_{n} \frac{1}{1 - h k}

$y_{n+1} = y_n\frac{1}{1-hk}$

但是我如何将隐式欧拉用于二阶微分方程，例如简单谐波运动的方程？

y^{″} + w^{2} y = 0

$y'' + w^2y = 0$

我们必须对和进行积分。对于显式欧拉，数值积分看起来像这样 (?)： $y$ $y'$

y_{n + 1} = y_{n} + h f (t_{n}, y_{n}^{'})

$y_{n+1} = y_n + hf(t_n, y'_n)$

y_{n + 1}^{'} = y_{n}^{'} + h g (t_{n}, y_{n})

$y'_{n+1} = y'_n + hg(t_n, y_n)$

我们将如何使用隐式欧拉进行积分？

1个回答

你必须把你的二阶方程写成两个一阶方程的系统。让，然后你的方程 $y' = v$

y^{″} + ω^{2} y = 0

$y'' + \omega^2 y = 0$

变成

(\begin{matrix} y^{'} \\ v^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} v \\ - ω^{2} y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - ω^{2} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} y \\ v \end{matrix})

$\begin{pmatrix} y' \\ v' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v \\ -\omega^2 y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\omega^2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y \\ v \end{pmatrix}$

如果将和矩阵表示为，则该系统可以写为 $u = (y,v)$ $A$

u^{'} = A u

$u' = A u$

现在隐式欧拉读取

u_{n + 1} = u_{n} + h A u_{n + 1}

$u_{n+1} = u_n + h A u_{n+1}$

要么

(I - h A) u_{n + 1} = u_{n}

$\left( I - h A \right) u_{n+1} = u_n$

翻译回你得到的组件

(\begin{matrix} 1 & - h \\ h ω^{2} & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} y_{n + 1} \\ v_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} y_{n} \\ v_{n} \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 1 & -h \\ h \omega^2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_{n+1} \\ v_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_{n} \\ v_n \end{pmatrix}$

附录。可能值得指出的是，隐式欧拉对于这类问题并不是一个很好的积分器，因为它会导致人为的能量耗散。您可能会更好地使用所谓的辛欧拉方法。

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