计算科学 - Fokker-Planck 方程的数值积分允许负漂移？ - 吾爱随笔录

计算科学有限差分参考请求可能性

2021-12-22 21:08:32

Fokker-Planck 方程（又名 Kolmogorov 前向方程或 Smoluchowski 方程）描述了概率密度函数的演变，FPE 的数值积分应该保持概率并确保概率保持非负。Chang-Cooper 方法是一种流行的有限差分方案，它满足这些约束，但是它要求在形式的 FPE 中

\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{1}{A (x)} \frac{\partial}{\partial x} [B (x, t) u + C (x, t) \frac{\partial u}{\partial x}]

$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{1}{A(x)}\frac{\partial}{\partial x} \big[B(x,t)u + C(x,t)\frac{\partial u}{\partial x}\big]$

函数和是正数。然而，对于某些问题，例如描述粒子在势内的布朗运动的 Fokker-Planck 方程，可能不是正函数。 $A(x), B(x,t)$ $C(x,t)$ $B(x,t)$

有没有一种方法可以整合允许负项的 FPE？ $B(x,t)$

1个回答

我熟悉不同应用中的方程，它是所谓的对流扩散方程。对于 B 的负值，解决它没有问题。您提到的方案（Chang-Cooper 方法）在我的领域中被称为指数迎风方案，它对 B 的所有非零值都有效。由于时间不足我在这里放了我论文的屏幕截图，符号略有不同：

Frolkovic, P. “与变密度流耦合的传输方程数值解的最大原理和局部质量平衡。” 大学数学学报 1.68 (1998): 137-157。

您可以在互联网上轻松找到。我不知道你用哪篇论文来定义 Chang-Cooper 方法，但我希望你能通过我下面的解释来理解它。

这是方程的平稳形式的屏幕截图，其中未知函数是。（您的）和（您的）的单个代表性常数值，您将获得指数插值形式的精确解，请参见（40），其中数值解和进行插值（您可以在一维中认为）： $c$ $q$ $B$ $d>0$ $C>0$ $c_i$ $c_j$ $j=i+1$

一个重要的角色是所谓的佩克莱特数，见上文，它可以是正数或负数。 $P$

如果您使用此插值，您可以推导出指数迎风方案，请参见下一个屏幕截图。这个想法可以通过使用对流项的标准线性插值和扩散项的标准有限差分来解释，其中扩散系数乘以的值，这意味着有效数值扩散被扩大，见 ( 42）下面（你应该在你的 Chang-Cooper 方法的定义中认出公式（43）） $K \ge 1$

最后，我添加了 Mathematica 输出的屏幕截图，您可以在其中看到指数插值适用（您的）的正值和负值，并且您会看到一个绘图Peclet 数的不同值的不同值。 $q$ $B$ $P=-100,-10,-1,1,10,100$ $K$ $P$

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