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如何计算网格的偏度？

计算科学有限体积网开放式泡沫非结构化网格

2021-12-08 22:55:47

我正在编写一个代码来计算网格质量统计信息，例如：细胞体积、面面积和面之间的非正交性（基本上类似于 OpenFOAM 的checkMesh）。

根据F. Moukalled 等人的说法，当连接相邻细胞质心的线不通过连接两个细胞的跨面的质心时，网格就会倾斜。例如，如果面质心由表示，并且是连接两个单元的线与面之间的交点，则和对于非倾斜网格重合。 $f$ $f'$ $f$ $f'$

那么，衡量偏度的指标是什么？

我发现以下代码在 OpenFOAM 中用于计算偏度，但其背后的数学不是很清楚：

注意：/* */评论是我的，但是，我不能 100% 确定我对变量的解释。

/* fCtrs[facei] is the face centroid of the current straddling face */
/* ownCc is the centroid of the cell that owns facei */
/* neiCc is the centroid of the neighbor cell */

vector Cpf = fCtrs[facei] - ownCc;
vector d = neiCc - ownCc;

// Skewness vector
/* the & operator is an overloaded operator that represents dot product */
/* ROOTVSMALL is a constant, equals "1.0e-18" (defined somewhere else), that prevent errors when dividing by zero */
/* fAreas[facei] returns the area normal vector of the straddling face */
vector sv =
    Cpf
    - ((fAreas[facei] & Cpf)/((fAreas[facei] & d) + ROOTVSMALL))*d;

vector svHat = sv/(mag(sv) + ROOTVSMALL);

1个回答

从讨论和论文来看，OpenFOAM 似乎已经实施了偏度测量。这个答案不能解释为什么不同的偏度定义可能是等价的，我只是要证明为什么这是一种偏度的度量。考虑以下两个元素 - 为了简单起见 -

蓝色箭头是外表面法线fAreas[facei]，红点是，从左到右ownCc，fCtrs[facei]和neiCc。现在，Cpf是从指向的向量ownCc，fCtrs[facei]是从指向d的向量。fCtrs[facei]neiCc

这就是我要提醒的地方，给定两个兼容的向量：其中和之间的角度。 $v,w$

v \cdot w = ‖ v ‖ ‖ w ‖ c o s (θ)

$v\cdot w = \|v\| \ \|w\| \ cos(\theta)$

θ

$\theta$

v

$v$

w

$w$

让我们回到公式((fAreas[facei] & Cpf)/((fAreas[facei] & d) + ROOTVSMALL))。(fAreas[facei] & Cpf)只会给我们时间的范数，fAreas[facei]因为Cpf这两个向量指向相同的方向（在这个例子中，如果Own是梯形，它就不会）因此。可能会给我们各种不同的正值，但重要的是如果和指向同一方向，因此没有偏斜，这将是时代的常态，例如。这简化了 $\theta=0$ (fAreas[facei] & d)fAreas[facei]dfAreas[facei]d[norm(fAreas[facei])*norm(Cpf)]/[norm(fAreas[facei])*norm(d)] = norm(Cpf)/norm(d)

sv = Cpf - ((fAreas[facei] & Cpf)/((fAreas[facei] & d) + ROOTVSMALL))*d;

进入

sv = Cpf - norm(Cpf)*d/norm(d); // Note that d/norm(d) is a unit vector pointing
                                // in the same direction as Cpf.

进入

sv = Cpf - Cpf; // e.g. zero vector

因此，如果网格没有倾斜，sv- 结果svHat- 将为零。如果它是倾斜的，如图所示，数学略有不同

sv = Cpf - ((fAreas[facei] & Cpf)/((fAreas[facei] & d) + ROOTVSMALL))*d;

变成

sv = 
 Cpf - 
  ((norm(fAreas[facei])*norm(Cpf))/(norm(fAreas[facei])*norm(d)*cos(theta) + ROOTVSMALL))*d;

变成（忽略ROOTVSMALL）

sv = Cpf - (norm(Cpf)/(norm(d)*cos(theta) + ROOTVSMALL))*d;

是和theta之间的d角度fAreas[facei]。让我们重新组织（我再次无视ROOTVSMALL）

sv = Cpf - norm(Cpf)/norm(d)*d*(1/(cos(theta) + ROOTVSMALL));

这样就更清楚地知道这是如何衡量偏度的。对于没有退化元素的网格，theta可以取开区间中的值，并取区间中的值。在最后一步，归一化会生成一个单位向量并为您提供每个方向的偏度。0 表示在给定方向上没有偏斜，其他值将表示一些偏斜。我认为将是最偏斜的情况，并且对应于退化的相邻元素。 $(-\pi/2,\pi/2)$ 1/cos(theta) $[1,\infty)$ svHat = sv/(mag(sv) + ROOTVSMALL);svHat $-1$

不同的偏度测量

正如 Maxim Umansky 在对问题的评论中提到的那样，有一篇维基百科文章讨论了skewness。这些是元素偏度的有效度量，但是，它们没有说明网格的偏度。除了基于等边体积的那个。例如，根据这些措施，菱形域与菱形元素的网格划分将被认为是倾斜的，但是，这不是您想要的。

我熟悉的另一个偏度定义是其中是两个相邻元素之间的面，是面的面积，是面的质心，是连接 Own 元素中心和相邻元素中心的线段的中点。在这种情况下，如果每对相邻元素的和。因此，这个偏度的定义以为界，但它可以是一个无限大的负数。

1 - \frac{| | c - d | |}{| F |},

$1-\frac{||c-d||}{|F|},$

F

$F$

| F |

$|F|$

c

$c$

F

$F$

d

$d$

c

$c$

d

$d$

1

$1$

1

$1$

此定义与 OpenFOAM 度量之间的差异

我熟悉的那个给你一个标量，OpenFOAM 测量返回一个向量并告诉你偏度的方向
OpenFOAM 度量在中（如果我没记错的话），另一个在中。 $[-1,0]$ $(-\infty,1]$
这个泛化到多边形和多面体（这是二手信息，即我前段时间听到的东西），我不确定 OpenFOAM 的。

由于这些原因，即使我相信它们是等价的定义，我也无法证明它们是等价的，例如如何将向量与标量进行比较？但是，两者都将以下两个元素描述为高度倾斜的，因此这是我证明它们等价的证据。

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