如果你有幸拥有一个复，则\mathbf A 的特征分解可以使用与实对称情况基本相同的算法机制来计算：初始/前端传递以减少到三对角形式通过 Householder 反射，然后在上进行移位 QR 迭代。值得注意的是，复厄米特可以正交化简为实对称三对角！这使得可以广泛重用最里面的移位 QR 例程。$\mathbf A$$\mathbf A$$\mathbf T$$\mathbf T$$\mathbf A$$\mathbf T$

不幸的是，对于实数非对称或复数非厄米特来说，情况就不那么乐观了。实际上，您可能甚至不需要这里的特征分解，而是 Schur 分解。它也显示特征值，但可以更稳定/准确，因为它只使用正交变换。并且 Schur 向量通常与特征向量一样有用，具体取决于应用程序。$\mathbf A$$\mathbf A$

在实数非对称情况下，使用 Householder 前端可以做的最好的事情是简化为 Hessenberg 形式，然后在其上执行移位的 QR 迭代。转移策略很混乱。在对称情况下，秩 2 移位是稳健的，因为特征值只能是纯实数或共轭对......但这在非对称情况下并不成立。您必须使用更高等级的移位（“multishifted QR”）。幸运的是，这些算法困难不会危及整体复杂性，它仍然是$\mathcal O(n^3)$

我认为复数非厄米特的情况更糟，因为我不相信 Householder 前端可以使用酉变换将一般复数矩阵简化为实海森堡形式（尽管我承认我不确定这一点）。我希望内部移位的 QR 迭代非常混乱（主要是由于移位策略的复杂性——对于这种输入，特征值可能在任何地方）。我相信这仍然是。$\mathcal O(n^3)$

的特征分解的一个很好的切入点是 LAPACK 的 ZGEEV 例程 - 请注意它是一个相当深的洞。$\mathbf A$