计算科学 - 投影到凸形上 - 最适合凸多边形 - 吾爱随笔录

我有兴趣研究形式的问题 $\min F(\Omega)$ 其中 $\Omega$ 在平面中的凸开集类中变化。一个想法是使用最速下降算法在每一步变形 $\Omega$ ，如果变形后的形状 $\Omega_d$ 不是凸的，则以某种方式将其投影到凸集空间上。

我想有不同的方法可以做到这一点。我试过用它的凸包这并不令人满意，因为在某些时候我们可能会陷入循环情况：例如，如果在其边界中有一个线段，则算法将线段向内拉，但凸化将其拉回到原来的位置。 $\Omega_d$ $\Omega$

为了避免这种情况，我们可以考虑一个形式，它是凸的，并且在最小二乘的意义上 $\Omega'$ 最接近 $\Omega$ 例如，如果 $\rho_0$ 是 $\Omega$ 的径向参数化，并且 $(x_i)$ 是 $[0,2\pi)$ 的离散化，那么我们可以求解

min_{ρ} \sum_{i = 1}^{n} (ρ (x_{i}) - ρ_{0} (x_{i}))^{2}

$\min_{\rho} \sum_{i = 1}^n (\rho(x_i)-\rho_0(x_i))^2$ 其中

ρ

$\rho$ 是凸形的径向函数。

有没有简单的方法在离散设置中对 $\rho$ 最后，上述优化问题相当于将最近的凸多边形拟合到平面中的一组点，在最小二乘的意义上。是否有任何已知的算法来找到这样一个最适合的凸多边形。

如果我写分析条件（2D 中的正曲率），它将需要导数 $\rho',\rho''$ ，这并不令人愉快：如果我通过傅里叶系数对径向函数进行参数化，它会解决二次优化问题在二次约束下。