如果你解释$L^{1}$norm 作为函数范数（即积分），则增加解值的数量将被网格宽度的减小所抵消。结果应该是规范中的可比值。

也就是说，如果您的解决方案是$f$, 取值$f(x_{i})$为了$i = 1, \ldots, N$， 然后

$$\begin{align} \|f\|_{1} = \int_{0}^{L}|f(x)|\,\mathrm{d}x \approx h\sum_{i = 1}^{N}|f(x_{i})|, \end{align}$$

假设：

• 您的网格是均匀的（否则，将放在求和中并将其替换为，假设离散点位于单元中心）$h$$x_{i+1/2} - x_{i-1/2}$
• PDE 的域是（不失一般性）。$[0,L]$

如果您认为您的网格尺寸处于渐近状态，您可以尝试 Richardson 误差估计。

本质上，这个想法是您将错误建模为对于某些未知并假设您超出该顺序的其他项可以忽略不计。然后，对于三种不同的网格大小，您有三个近似值$O(h^p)$$p$

$$f_{h}\approx f_* + ch^p$$ $$f_{2h}\approx f_* + c(2h)^p$$ $$f_{4h}\approx f_* + c(4h)^p$$

其中和是精细、中等和粗糙网格上的解。使用一些代数，你会得到和类似的另一个差异，所以你可以解决和。$f_h$$f_{2h}$ $f_{4h}$$f_{h} - f_{2h} \approx c(h^p-(2h)^p)$$p$$c$

要获取不同大小的网格函数之间的差异，只需使用限制 -在上采样，在上采样，所以每隔一段时间进行评估。选择您想要估计误差的任何规范。$f_h$$0,1,2,3,4,5,6$$f_{2h}$$0,2,4,6$

在较粗的网格上进行插值，例如，通过足够平滑的张量积样条。然后，在更精细的网格上评估插值。现在你有两个相同长度的解向量：一个是从低分辨率模型中采样的，另一个是在更高分辨率上求解的实际数据。找出它们在给定规范中的差异。