计算科学 - 具有二次右侧的 ODE 的隐式积分器 - 吾爱随笔录

我有一个未知数的 ODE $x(t):[0,\infty)\to\mathbb R^n$ 以下形式：

x_{i}^{'} (t) = a_{i}^{⊤} x (t) + x (t)^{⊤} Q_{i} x (t),

$x_i'(t)=a_i^\top x(t) + x(t)^\top Q_i x(t),$ 为了

i \in {1, \dots, n}

$i\in\{1,\ldots,n\}$ . 在这里，向量

a_{i} \in R^{n}

$a_i\in\mathbb R^n$ 形成一个列

n \times n

$n\times n$ 负半定矩阵

A \in R^{n \times n}

$A\in\mathbb R^{n\times n}$ ，和

Q_{i} ⪰ 0

$Q_i\succeq0$ 对所有人

i \in {1, \dots, n}

$i\in\{1,\ldots,n\}$ . 换句话说，ODE 的右侧是状态的凸二次函数。我们可以写

x^{'} = A x + Q (x)

$x'=Ax+\mathcal Q(x)$ ，其中的每个条目

Q

$\mathcal Q$ 是凸齐次二次方程

x (t)

$x(t)$ .

认为 $x'=Ax$ 使用后向（隐式）欧拉积分来很好地逼近 $t$ ，甚至我们愿意为这个线性项做指数积分。 在这种情况下，是否有一种数值积分方法可能对上述非线性 ODE 的时间步长有效？

作为一个简单的例子，基于参数变化的积分可以“融入” ODE 线性部分的解。或者也许存在隐式积分的变分版本，这会导致我们设置中的凸问题。