计算科学 - 后验误差估计器中的振荡项 - 吾爱随笔录

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2021-12-13 03:13:06

假设在某个 PDE 的 a（残差类型）后验误差估计量中，一个项的形式为 $h_T\|g\|_{L^2(\Omega)}$ 其中 $h_T$ 是元素的直径， $g$ 是一些已知的数据函数。

在证明估计器的效率时，想要得到

\begin{aligned} h_{T}^{2} ‖ g ‖_{L^{2} (T)}^{2} \leq ‖ u - u_{h} ‖^{2} + h_{T}^{2} ‖ g - {\bar{g}}_{T} ‖_{L^{2} (T)}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} h_T^2\|g\|_{L^2(T)}^2 \leq \|u-u_h\|^2 + h_T^2\|g-\bar{g}_T\|^2_{L^2(T)} \end{align}$ 其中

{\bar{g}}_{T}

$\bar{g}_T$ 是

g

$g$ 在

T

$T$ 中的平均值。为什么我们需要这个振荡项，因为

g

$g$ 是已知数据并且由

h_{T}

$h_T$ 控制？

1个回答

在效率证明中，您使用气泡函数来消除元素边界项。对于定义在元素上的气泡函数，它持有对于任何离散函数都是正确的。在证明中，您使用这个（或类似的）不等式来限制问题的残差。这对于任意（非离散）加载是不可能的。因此，在残差中，您将替换为其通过的投影并使用三角不等式。 $b_T$ $T$

c ‖ v_{h} ‖_{0, T} \leq ‖ b_{T} v_{h} ‖_{0, T} \leq C ‖ v_{h} ‖_{0, T}

$c \|v_h\|_{0,T} \leq \|b_T v_h\|_{0,T} \leq C \| v_h \|_{0,T}$

v_{h}

$v_h$

g

$g$

g = \bar{g} + g - \bar{g}

$g = \overline{g} + g - \overline{g}$

这意味着对于任意负载，没有任何振荡项就无法证明效率。

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