我正在看一些形式的反应扩散方程

$\frac{dP}{dt} = D\left(\frac{d^2P}{dr^2} + \frac{2}{r}\frac{dP}{dr}\right) - a(P)$

我知道一端的初始条件和边界值。我也知道函数稳步下降并最终在第二个未知边界处达到零。为了模拟这种行为并间接找到这个未知边界，我使用显式有限差分方案编写了一个求解器，并在循环中添加了一个条件，该条件将任何负值强制更改为零。这给了我正确的结果，但由于 CFL 条件，我不得不使用一个很小的时间步长（$\Delta t = 0.001$) 当我对系统在几个小时甚至几天内的行为更感兴趣时。

我正在研究使用隐式有限差分方法或 CN 方法，因此我可能会增加时间步长，但我对此的（有限）理解意味着我必须求解一个包含未知边界的方程组，我不会确切地知道。是否有可能解决这个问题，或者隐式方法会失败？如果可以解决它，任何人都可以提出一个好的方法以及我将如何实现它？在此先感谢，我对数值方法很陌生，如果有任何建议，我将不胜感激。