计算科学 - 有限差分计算中的误差范数 - 吾爱随笔录

有限差分计算中的误差范数

计算科学有限差分收敛误差估计

2021-12-10 05:16:55

我使用显式有限差分方案来模拟摩擦焊缝中的一维时间相关温度分布。我现在想验证我的算法的一致性和收敛性。

我没有确切的解决方案，并假设我必须使用在非常精细的网格间距下产生的近似值来计算较粗网格的相对误差。我计划在多个时间间隔（加热和冷却期间）和我的印象是范数将提供错误的最佳整体描述，而将允许我限制我的错误。 $L^2$ $L^\infty$ $L^2$ $L^\infty$

那么，这是一种合乎逻辑且稳健的方法来估计我的错误并确认我的差异方案的一致性吗？

1个回答

和范数都可能是误差的可行度量。如果您的问题性质良好，它们的行为甚至可能与您的网格间距趋于零的方式相同。但是，如果您的问题的解决方案不是平滑的（考虑一个阶跃函数，它不能用 L^\infty 中的平滑函数来近似，或者您的方法在的收敛性较差，它们可能会以不同的阶数收敛，如果有的话。如果您观察到这一点，您将不得不查看您的方法背后的数学，以查看您的实现是否一致。 $L^2$ $L^\infty$ $L^\infty$ $L^\infty$

顺便说一句，您可以简化错误估计：如果您在一系列网格上计算解决方案，例如，并且两个连续解决方案的差异表现为与正，您可以使用几何级数来推断您的方法是阶数。在连续网格上比较解决方案通常更容易。 $h_k = 2^{-k}$ $h_k^\alpha$ $\alpha$ $h^\alpha$

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