计算科学 - 扩散-平流方程有限差分法的封闭边界条件 - 吾爱随笔录

扩散-平流方程有限差分法的封闭边界条件

计算科学有限差分边界条件平流扩散

2021-12-15 06:55:54

我正在实施一种有限差分法来求解扩散-平流方程：

u_{t} + v \cdot u_{x} = D \cdot u_{x x}

$u_t + v \cdot u_x = D\cdot u_{xx}$ (v, D 是常数)。计划使用算子拆分方法（见下文），我现在专注于平流部分。

我选择了交错跳跃法（来自数字食谱书）

u_{j}^{n + 1} = u_{j}^{n - 1} - \frac{v \cdot Δ t}{Δ x} (u_{j + 1}^{n} - u_{j - 1}^{n})

$u^{n+1}_j = u^{n-1}_j - \frac{v\cdot\Delta t }{\Delta x}(u^n_{j+1} - u^n_{j-1}) \;\;\;\;$ 因为在通量守恒的情况下它应该是库朗稳定的；事实证明确实如此，因为它使用周期性条件完美地工作。当试图改变界限时，问题就显现出来了。简而言之，我的问题是：如何在这种方法中明确地实现这些条件？下面，我将提供更多关于我的失败的细节。

无通量条件

让我们从更一般的情况开始：正如这里指出的扩散对流方程，需要 Robin 条件来实现封闭边界

v \cdot u - D u_{x} = 0

$v\cdot u - Du_x = 0$ 我试图离散化它们：

v \cdot u_{j} - \frac{D}{Δ x} (c_{j} - c_{j - 1}) = 0

$v\cdot u_j - \frac{D}{\Delta x} (c_j - c_{j-1}) = 0$ 但是，当 D=0 时，剩下的唯一条件是

v \cdot u = 0

$v\cdot u = 0$ 因此，我不清楚如何解释这一点：强加 u=0 会导致（失败）吸收条件的策略（见下文），而 v 是恒定的（我不明白我可以在哪里强加它等于零）。

吸收条件

Leapfrog 方法适用于通量守恒的情况。事实上，强加

u(j=0,n) = 0 
u(jmax,n) = 0

造成人为的不稳定性。蛙跳式更新分为三部分：一是该点的前一个（前两步）值，一是该值与上坡点成比例增加，另一部分与下坡点成比例减少。这也是从物理角度可以预期的：一些量进入，一些量出去。简单设置空边界失败的原因现在很明显：如果下坡点为空，则没有归约项，所以最后一个点之前的点会爆炸；之前的点现在有一个很大的减少项，所以归零；之前的点有一个小的减少项等等，导致增加和减少项的交替（见图1）。

算子拆分

正如数字食谱书（上面引用的）中所解释的那样，一个等式

u_{t} = L u

$u_t = \mathcal{L} u$ 其中线性算子的分解

L = \sum_{i}^{m} L_{i}

$\mathcal{L}=\sum^m_{i}\mathcal{L}_i$ 是可能的可以解决应用，对于每一步，序列

U_{1} (U_{2} (\dots U_{m} (u^{n}) \dots)) = u^{n + 1}

$\mathcal{U}_1(\mathcal{U}_2(\dots\mathcal{U}_m(u^n)\dots)) = u^{n+1}$ 前提是每个算子 U 求解总和中的一项并且是稳定的。

即使我知道替代方案是可能的，通常考虑扩散平流功能，在深入研究它们之前，我愿意解决我的这个疑问。

1个回答

如果你只考虑纯粹的平流部分，让，说， $v>0$ ，那么只需设置（重新定义）就可以在正确的点获得“无通量条件” $v=0$ 那里。当然，解决方案可以在那里形成一个“边界层”，并且它可以在正确的点变得不连续，因为解决方案将在那里保持初始条件给出的值，即 $u_{jmax}^{n+1} = u^0_{jmax}$ .

恒速的自然边界条件 $v>0$ 是您让解决方案通过可以视为流出边界的正确间隔点“流出”。它可以通过应用你的跳跃方法来获得 $u_{jmax}^{n+1}$ 与辅助值 $u_{jmax+1}^n= u_{jmax}^n$ （不断外推）或 $u_{jmax+1}^n= 2 u_{jmax}^n - u_{jmax-1}^n$ （线性外推）。可以将这样的处理视为适合流出边界和纯平流的“不做边界条件”。就像您也在正确的点求解纯平流（微分方程）。

只是备注 - 如果您使用适当的迎风方法而不是跳跃方法，您甚至不需要域之外的辅助值来计算 $u_{jmax}^{n+1}$ .

对于流入边界，即案例中的左点 $v>0$ ，你必须规定值 $u_0^{n+1}$ 直接通过“狄利克雷边界条件”而不是求解微分方程。

对于对流扩散方程的情况，理论上您可以在编写时定义无通量边界条件 $D \neq 0$ , 但这意味着 $v>0$ 你规定了一个“向内扩散”，因此是一个相应的梯度，这将抵消平流通量，因此总通量将为零。这种情况在实践中很难发现。更典型的是只为扩散通量规定一些东西，而对平流通量使用以前的“什么都不做”方法（或外推）。

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