计算科学 - 矩阵指数约束优化 - 吾爱随笔录 - 问答

矩阵指数约束优化

计算科学线性代数优化凸优化约束优化

2021-12-04 08:08:30

假设我正在优化一个未知数 $x\in\mathbb{R}^k.$ 我有一个线性运算符 $A(\cdot)$ 那映射 $x$ 对一个 $n\times n$ 对称矩阵，即 $A:\mathbb{R}^k\rightarrow\mathbb{R}^{n\times n}.$

我想解决表单的问题

\begin{aligned} min_{x \in R^{k}} & f (x) \\ s.t. & x \in C \\ e x p (A (x)) \cdot v = w, \end{aligned}

$\begin{array}{rl} \min_{x\in\mathbb{R}^k} & f(x)\\ \textrm{s.t.} & x\in\mathcal C\\ & \mathrm{exp}(A(x))\cdot v=w, \end{array}$ 其中

f : R^{k} \to R

$f:\mathbb{R}^k\rightarrow\mathbb{R}$ 是凸集，

C \subseteq R^{k}

$\mathcal C\subseteq\mathbb{R}^k$ 是某个凸集，而

v, w \in R^{n}

$v,w\in\mathbb{R}^n$ 是常数向量。

这个问题有没有可能转化为凸的东西？如果不是（或者如果是的话），对于这种形式的问题，什么是好的优化技术/算法？

1个回答

不，这不可能转换为凸问题，因为可行集通常是非凸的。例如，考虑情况，和 . 该数据生成约束，它具有两个不同的可行点（和）。这当然是可以预料的，因为除了仿射等式之外的任何东西都是非凸的。 $A = \begin{bmatrix} x & 0\\0 & 2x\end{bmatrix}$ $v = \begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}$ $w=1/2$ $2e^x-e^{2x}=1/2$ $-.123$ $.534$

尽管可能性非常低，但您可能可以通过一些对数变换来避免这种情况。取决于此模型的所有组件的具体情况。

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