我关心以下问题的数值解$[0,1]\times[0,1]$.

$\dfrac{\partial\theta}{\partial t}+u(x,t).\nabla \theta(x,t)=\kappa \nabla^2\theta(t,x)$

具有狄利克雷边界条件$\theta(t,x)=0$在矩形的边界上。

我在一般情况下的问题，特别是对于上述问题是：

我可以在这里使用三角（傅里叶）光谱伽辽金方法吗？换句话说，会使用$\phi_{i,j}=sin(2i\pi x)sin(2j\pi y)$作为galerkin的基础是否会产生Gibbs现象？

我感兴趣的初始条件在边界处也是平滑且为零的。

我知道对于非周期域，我们应该改用切比雪夫多项式。但是在这里，我们可以假设解是“周期性的”，因为它在边界处为零吗？