我有一个来自内部振动声耦合的特征值问题。

特征值问题是非对称的，但在文献中证明，由于非对角耦合矩阵之间的关系，它会产生实特征值和特征向量。特征值问题如下：

$$A \phi = \lambda B \phi$$

在哪里

$$A = \begin{bmatrix} K_1 &K_2\\ 0 &K_3\end{bmatrix}$$

和

$$B = \begin{bmatrix} M_1 &0\\ -K_2^T &M_2\end{bmatrix}$$

我正在使用 Arnoldi 技术来解决这个特征值问题。但是，我总是必须应用缩放才能找到正确的特征值和特征向量。我正在应用的是简单的 jacobi 缩放，例如

P1 = diag(1./sqrt(diag(K1)))
P2 = diag(1./sqrt(diag(K2)))

P = diag(P1,P2)

最终，我要解决的是这个缩放矩阵的广义特征值问题，即，

$$P A P = \begin{bmatrix} P_1 K_1 P_1 &P_1 K_2 P_2\\ 0 &P_2 K_3 P_2\end{bmatrix}$$

和

$$P B P = \begin{bmatrix} P_1 M_1 P_1 &0\\ -P_2 K_2^T P_1 &P_2 M_2 P_2\end{bmatrix}$$

然后我在缩放之前回到原始空间。到目前为止还不错，但我还想完成一个后续步骤。稍后，我需要解决一个涉及的线性系统，例如，$A$

$$A x = b$$

并且我想使用我在上述特征值解决方案中生成的因子来执行此解决方案。但是，如果我执行缩放，我原来会转换为，所以我不能将它用于向前向后求解，我需要对进行新的分解。$A$$PAP$$A$

如上所述，尽管我的原始矩阵不是那么病态，但我只能通过这种缩放找到正确的特征值和特征向量。我正在寻找一种方法来解决我的特征值问题而无需缩放并在稍后阶段使用可用的分解，但到目前为止，如果没有缩放，我没有运气。我在我的 MATLAB 实现中使用内置求解器（或 Tim Davies 的 Factorize 包）进行 Arnoldi 迭代。

任何帮助/想法都非常感谢我可以尝试在不扩展的情况下解决这个问题。