计算科学 - 具有固定均值约束和子空间约束的最小二乘问题 - 吾爱随笔录

让 $V_1,\ldots,V_n$ 是 $n$ 希尔伯特空间的向量子空间， $y_i\in V_i$ 对于每个 $i$ 和 $\overline{x}$ 是一个固定向量。我想解决优化问题：

\begin{aligned} min_{x_{1}, \dots, x_{n}} & \sum_{i = 1}^{n} ‖ x_{i} - y_{i} ‖_{2}^{2} \\ subject to & \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} = \bar{x}, \\ x_{i} \in V_{i} for i = 1, . . . n . \end{aligned}

$\begin{equation*} \begin{aligned} & \underset{x_1,\ldots,x_n}{\min} & & \sum_{i=1}^n \| x_i - y_i\|_2^2 \\ & \text{subject to} & & \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i = \overline{x},\\ & && \ x_i \in V_i \text{ for }i=1,...n. \end{aligned} \end{equation*}$ 我没有先验

。该设置应该是无限维希尔伯特空间，但任何有限维帮助也值得赞赏。

不一定是正交的，它们的直接和也不一定等于整个空间。

V_{i}

$V_i$

P_{i}

$P_i$

V_{i}

$V_i$

如果 $V_i$ 是正交的并且直接求和到整个空间，我相信解决方案是 $x_i = y_i + N*P_i(\overline{x} - \overline{y})$ 。

随意添加您可能需要的任何假设。

最初是在 MSE 上询问的，如果不赞成转发，请见谅。