根据您的评论，您的主要困难似乎是如何对给定矩阵进行 LU 分解$M$可以很容易地找到一个向量$\mathbf{y}$这样$M\mathbf{y}=\mathbf{b}$对于给定的$\mathbf{b}$. 希望你感到舒服，如果我们有一个简单的方法来做到这一点，那么这个问题就解决了，因为我们可以处理$M^{-1}$作为一个黑匣子，我们得到一个输入，该方法返回一个输出。

让我们假设我们（不知何故）知道如何找到一个$\mathbf{z}$这样$L\mathbf{z} = \mathbf{b}$对于给定的$\mathbf{b}$. 然后提供我们可以找到一个$\mathbf{y}$这使$U\mathbf{y} = \mathbf{z}$， 然后

$$LU\mathbf{y} = L\mathbf{z} = \mathbf{b},$$ 我们完成了。但是怎么找$\mathbf{y}$? 自从$U$是上三角，然后将事物写成联立方程，最后一个方程就是 $$U_{n,n}y_n = z_n$$ 这很容易一次性解决，因为$y_n = \frac{z_n}{U_{n,n}}$. 但是现在从上一个倒数的等式可以写成 $$U_{n-1,n-1}y_{n-1} = - U_{n-1,n}y_n + z_{n-1},$$ 鉴于我们刚刚发现，这又是一个需要解决的问题$y_n$（如果您想查找，此方法称为向后替换）。因为获得第 i 个组件意味着做$n-i$乘法和除法，有$n$线，我们正在做$n^2$运算，这比一般的矩阵求逆要好。更好的是，如果$U$实际上比一般的上三角矩阵具有更少的条目，那么我们要做的数学运算就更少了。

所以现在我们需要回到寻找$\mathbf{z}$. 但是第一个方程$L\mathbf{z}=\mathbf{b}$只是

$$L_{1,1} z_1 = b_1,$$ 所以我们可以玩我们之前玩过的完全一样的游戏，除了使用前锋换人。

好的 - 所以你的原始方程是

$$Ax = b$$

假设您已经为提出了一个很好的预处理器，称之为。预先计算了一个 LU 分解，即$A$$M$$M$

$$M = L_m U_m$$

我使用下标表示这是我们在这里讨论的分解）。然后，假设左预处理，您将求解预处理线性系统$m$$M$$A$

$$M^{-1} A x = M^{-1}b,$$

或者，等效地

$$(L_m U_m)^{-1} A x = (L_m U_m)^{-1} b,$$

要么

$$U_m^{-1} L_m^{-1} A x = U_m^{-1} L_m^{-1} b.$$

因此，预条件系统矩阵现在是条件好得多。$U_m^{-1} L_m^{-1}A$$A$

现在你可以

(a)（作为纯粹的学术练习）用非预处理的 Krylov 方法（比如 GMRES）求解系统。由于系统矩阵条件良好，您可以期待快速收敛。

Krylov 算法需要将此矩阵乘以任意（已知）向量，称为。换句话说，Krylov 过程需要你的是一个例程，给定，计算$r$$r$

$$z = U_m^{-1} L_m^{-1} A r$$

这相当于求解线性系统（对于）。这个系统很容易（=便宜）求解，因为矩阵和是三角形的。$L_m U_m z = A r$$z$$L_m$$U_m$

要么

(b)（你在实践中会做什么）在预处理系统上运行预处理 CG。CG 将逆预处理器应用于残差向量。同样，这只是意味着它解决了线性系统（对于）。$r := b - Ax$$L_m U_m z = r$$z$

所以，总而言之：永远不要显式地反转矩阵（无论如何你不能在实践中对大矩阵这样做），而是求解相应的线性系统（这在数学上相当于将逆矩阵运算符应用于已知向量）。