我相信您正在转换“内部”和“外部”步进的定义（这种命名法在您至少有 3 个单独的迭代方案正在进行的隔离方案中变得更糟。）

您缺少的核心是“伪时间”根本不是时间。这只是实现迭代解决方案的一种便捷方式。在时间方程中取一阶反向差分（空间离散化无关紧要，除了我们在时间 n+1 对其进行评估）：

$\frac{\partial u}{\partial t} + f(u)\approx \frac{u^{n+1}-u^n}{\Delta t} + f(u)^{n+1} \equiv R(u) = 0$

现在该表达式是一个隐式方程，您通常需要某种迭代方法来解决它的时间$n+1$. 在这里，您可以使用任何（非）线性代数求解器来查找$u$这样$R(u)=0$. 另一种方法是将该问题视为不稳定的$\frac{du}{d\tau}=R(u)$并向前迈进，直到剩余$R$为 0（我认为这等同于使用 Jacobi 迭代来求解 R(u)=0）。您可能已经将其视为求解拉普拉斯椭圆方程的第一种方法$\nabla^2 u=0$把它当作一个抛物线方程$\frac{du}{dt} = \nabla^2 u$并逐步收敛。

我们可以将该表达式修改为：

$R^{\star}(u) = \frac{u-u^n}{\Delta t} + f(u)$

和写：

$\frac{u^{\star}-u}{\Delta \tau} + R^{\star}(u) = 0$

在哪里$u^{\star}$是某个伪时间的值，并且$\Delta \tau$是伪时间步长。这等于上面的任何时候$u^{\star}=u$这意味着$u=u^{n+1}$. 我们可以在伪时间明确地向前迈进。双时间步长的下标/上标总是会变得有点模糊 - 请参阅“使用气动弹性应用程序进行的多网格非定常 Navier-Stokes 计算”例如二阶。

在实现中，一旦你了解了双时间步的工作原理，它就真的很容易了。它在算法上等同于您最初的显式时间步长方案，除了现在您有一个表示隐式不稳定项的附加源项，并且对于每个时间步长，您迭代直到残差接近零。另一种看待这个问题的方法是认识到每个物理非稳态时间步长都相当于解决一个“稳态”问题。