计算科学 - 从勒让德多项式转换∫1− 1φj( × )φķ( x ) dX∫−11ϕj(x)ϕk(x)dx进入∫b一种φj（吨）φķ( t ) d吨∫abϕj(t)ϕk(t)dt给定t =12[ ( b - a ) x + ( a + b ) ]t=12[(b−a)x+(a+b)] - 吾爱随笔录

勒让德多项式满足

\int_{- 1}^{1} ϕ_{j} (x) ϕ_{k} (x) d x = {\begin{cases} 0 & j \neq k \\ \frac{2}{2 j + 1} & j = k \end{cases}

$\int_{-1}^{1}\phi_j(x)\phi_k(x)dx = \begin{cases} 0 &j\neq k\\\\ \dfrac{2}{2j+1} &j=k \end{cases}$

假设在区间上给出了最佳拟合问题 $[a,b]$ . 用变换证明 $t=\dfrac{1}{2}[(b-a)x+(a+b)]$ 稍微改变一下符号，我们有

\int_{a}^{b} ϕ_{j} (t) ϕ_{k} (t) d t = {\begin{cases} 0 & j \neq k \\ \frac{b - a}{2 j + 1} & j = k \end{cases}

$\int_{a}^{b}\phi_j(t)\phi_k(t)dt = \begin{cases} 0 &j\neq k\\\\ \dfrac{b-a}{2j+1} &j=k \end{cases}$

如果 $t=\dfrac{1}{2}[(b-a)x+(a+b)]$ ，然后 $x=\dfrac{2t-a-b}{b-a}$ ，我被困在这一步，谁能给我一些提示？