当应用列（或行）的奇数排列时，雅可比行列式作为行列式会改变其符号。

想象一下，为简单起见，参考元素是一个带有顶点的三角形的二维情况$V_1$,$V_2$和$V_3$（逆时针选择）和基函数$1-\lambda-\mu$,$\lambda$和$\mu$分别。这对参考坐标将被定义为：$F:(\lambda,\mu)\to(x, y)$在哪里$F=[x,y]^T=F(\lambda,\mu)$它由下式给出：

$$F(\lambda,\mu) = V_1(1-\lambda-\mu)+V_2\lambda + V_3\mu$$

很明显，雅可比行列式是：

$$J=\vec{\textrm{grad}}\,F=[V_2-V_1,V_3-V_1]$$

请注意，该雅可比行列式与三角形面积的两倍重合：$det(J) = (y_3-y_1)(x_2-x_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)$.

相反，如果以顺时针方式选择顶点，雅可比将变为：

$$\vec{\textrm{grad}}\,F=[V_3-V_1,V_2-V_1]$$ 交换其列导致负行列式。

其他原因可能是由于顶点没有连续排序，导致边缘交叉，从而导致负面积（或 3D 中的体积）。