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将一维笛卡尔可变系数扩散码转换为一维径向对称码

计算科学有限差分数字扩散

2021-12-10 21:20:26

所以我有一个代码，我使用它解决笛卡尔坐标中的一维可变系数扩散问题：

$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\left(D(x)\frac{\partial u}{\partial x}\right)$ .

它使用反向欧拉离散化隐式求解方程。它工作正常，但我想将其转换为球对称代码。问题是我找不到有关如何对可变系数执行此操作的信息。如果有人向我展示我需要进行的具体修改，我将不胜感激。

此外，该方程的解在 1D 笛卡尔平板与 1D 球对称径向平板中看起来有多大不同？如果它们看起来差不多，那么也许我不应该进行修改。谢谢！

1个回答

更一般地说，您正在求解的方程是

\frac{\partial u}{\partial t} = \nabla \cdot (D (x) \nabla u),

$\begin{equation} \frac{\partial u}{\partial t} = \nabla \cdot \left( D(x) \nabla u \right) \quad , \end{equation}$ 其中第一个 nabla 算子表示散度算子，第二个表示梯度算子。您的方程是一维笛卡尔坐标系的特例。

从实际的角度来看，如果您想移动到圆柱或球坐标系中，您所要做的就是应用 nabla 运算符的相应定义。例如，您可以在 Wikipedia 上找到它们：

如果考虑轴向和方位角对称性，您可以在 $r$ 包括度量项，即：

\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (D (r) r \frac{\partial u}{\partial r}),

$\begin{equation} \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( D(r) r \frac{\partial u}{\partial r} \right) \quad , \end{equation}$ 如您所见，在这种方法中，您的扩散系数是否恒定并不重要。

我不确定告诉你最终的方程式是否已经破坏了太多。但我相信你知道如何从这里开始实施。;-)

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