在您提到的评论中，具有非常特殊的形式。让。然后被定义为一些集合如下： 正如 Bill Barth 所提到的，您现在可以将矩阵分成两部分，即 我喜欢用有限元方法来思考，因为我更熟悉这些方法。现在你的弱公式是：找到使得 对于非常测试函数。$f$$u:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$$f:[a,b]\rightarrow\{0,1\}$$S \subset [a,b]$

$$f(x) = \begin{cases} 1 & \text{if $x \in S$,} \\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases}$$ $A$ $$A = K+C.$$ $u \in H^1_0(a,b)$ $$(u_x,v_x)+(fu,v)=(\kappa,v)$$ $v \in H^1_0(a,b)$

第一项的离散化导致和第二项。我的直觉现在说，由于您的非常“简单”，您可以构建与对应，然后构建满足 如果很容易评估（即只需将行和列设置为零），那么您只需构造一次并且每个只是轻微的扰动。$K$$C$$f$$M$$(u,v)$$F_f$

$$C = F_f(M).$$ $F_f$$M$$C$

这有什么意义吗？

你不能保持$A$不变，但你可以把它分成两部分$A(t)=K+C(t)$对于扩散和非常量“反应”项，然后使用$LU$-因式分解$K$作为未来时间整个系统的迭代方法的预处理器。如果$f(x,t)$相当不错，应该很好用。此外，由于 PDE 中没有时间导数，因此每个时间级别都是独立的，您可以并行解决其中的许多问题。

您基本上是在尝试求解具有可变系数的一维修正亥姆霍兹方程。

如果系数发生变化的位置在时间上保持不变，我建议使用标准有限元 (FE) 方法，在这些位置放置元素接口。在这种情况下，分段常数系数不会在使用 FE 方法的解中引入误差。我必须指出，我偏向于 FE 解决方案，因为这是我来自的领域。

在您的情况下，系数也会随时间突然变化。如果处理不当，这可能会引入数值错误。您可以在每次系数变化后大幅减少时间步长（如果有很多这样的变化，这可能会很昂贵），或者可能使用时空有限元 - 我不确定，但我认为在空间驯服的情况下FE 方案对系数中的时间跳跃也不敏感。

由于域的突然变化，还有其他方法可以处理精度问题。