我一直面临解决由离散 PDE（特别是斯托克斯方程）引起的线性系统 Ax=b 的问题。Nively，只要 A 是稀疏的，似乎求解 Ax=b 不应该比简单地将矩阵 A 乘以某个向量 v 花费更多的时间。更具体地说，当对线性 PDE 进行离散化时，最终会得到一个稀疏矩阵 A，其第 i 行包含的非零元素与空间网格中节点 i 的最近邻居一样多，这通常是一个很小的数字。因此，求解这样一个系统似乎需要 O(n) 时间，其中 n 是（方）矩阵 A 的大小。然而，经验表明求解线性系统比执行矩阵乘法成本更高，即使在A 稀疏时的情况。在实践中，我使用在 PETSc 库中实现的 MUMPS 求解器（使用 LU 分解）。我发现当矩阵的大小超过 100,000 左右时，显式解决方案基本上不可行。另一方面，使用 100,000 个浮点数执行简单的算术运算似乎是一项微不足道的任务。我在 MATLAB 中对稀疏矩阵进行实验得出了相同的结论。例如：

A = sprand(100000,100000,0.0001) + speye(100000,100000);

v = 个（100000,1）；

现在，将 A 乘以 v 需要 0.02 秒。然而，求解 A\v 需要更多的时间，即使 A 在每行大约有 10 个元素。

解决稀疏系统似乎比执行矩阵向量乘法更难有一个简单的原因吗？有什么解决办法吗？