信息处理 - 如何使用状态转换矩阵从其状态空间表示中找到系统的脉冲响应？ - 吾爱随笔录

信息处理冲动反应状态空间线性系统

2022-01-08 03:48:57

假设我们有一个以标准状态空间符号表示的线性：

\dot{x} (t) = A x (t) + B u (t)

$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

y (t) = C x (t) + D u (t)

$y(t) = Cx(t) + Du(t)$

为了得到它的脉冲响应，可以对其进行拉普拉斯变换得到

s X = A X + B U

$sX=AX+BU$

Y = C X + D U

$Y=CX+DU$

然后求解传递函数

\frac{Y}{U} = C (s I - A)^{- 1} B + D

$\frac{Y}{U}=C(sI-A)^{-1}B+D$

同样，对于离散系统， $\mathcal{Z}$ - 变换

x [n + 1] = A x [n] + B u [n]

$x[n+1]=Ax[n]+Bu[n]$

y [n] = C x [n] + D u [n]

$y[n] = Cx[n] + Du[n]$

是

\frac{Y}{U} = C (z I - A)^{- 1} B + D

$\frac{Y}{U}=C(zI-A)^{-1}B+D$

这个过程似乎有点长，我记得有一种方法可以使用状态转换矩阵找到脉冲响应，这是 $x$ 每对的第一个方程。有谁知道如何做到这一点？

1个回答

您可以通过求解第一个方程中的标准非齐次 ODE 来使用状态转移矩阵来解决问题。解决方案 $\dot{x}(t)=A x(t) + B u(t)$ 是

x (t) = x_{0} e^{A t} + \int_{0}^{t} e^{A (t - t^{'})} B u (t^{'}) d t^{'}

$x(t)=x_0 e^{At}+\int_{0}^te^{A(t-t')}Bu(t')dt'$

在哪里 $x_0=x(0)$ . 数量 $e^{At}$ 称为状态转移矩阵（也是齐次 ODE 的解），我将其称为 $\Xi(t)$ （我不记得这个的标准符号）。服用 $x_0=0$ ，方程为 $y(t)$ 变成

y (t) = C \int_{0}^{t} Ξ (t - t^{'}) B u (t^{'}) d t^{'} + D u (t)

$y(t)=C\int_0^t\Xi(t-t')Bu(t')dt'+Du(t)$

上面的方程给你的输出是与系统脉冲响应卷积的输入，实际上，你可以用上面方程的拉普拉斯变换来验证。注意到拉普拉斯变换 $\Xi(t)=e^{At}$ 是 $(sI-A)^{-1}$ 并且时域中的卷积成为 s 域中的乘积，我们得到

Y = C (s I - A)^{- 1} B U + D U

$Y=C(sI-A)^{-1}BU+DU$

这为您提供了与您的问题相同的传递函数。

关于您对完全拉普拉斯变换方法的评论很长，我不一定会这么说。然而，状态转移矩阵方法可能更容易实现，因为涉及它的几个操作可以用简单的矩阵乘法来计算，仅此而已。

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