我想找到轨迹$x(t)$最小化动作$S = \int_{t_i}^{t_f} L(x(t), \dot{x}(t)) \mathrm{d}t$数字上。

我试图通过离散化动作来做到这一点，因此它更像是一个接受向量而不是函数的函数。更准确地说，给定轨迹的初始猜测$\{x^{'}_{i}\}$我试图找到轨迹$\{x_i\}$最小化总和$\sum_{i=0}^{N-1} \frac{m}{2 \Delta t}(x_{i+1} - x_i)^2 - \frac{k}{2} x_{i}^{2} \Delta t$（这是 SHO 操作的离散化版本）然后我使用 scipy 的向下单纯形法/nelder-mead 最小化函数来执行此操作，但是它无法正常工作。

我正在关注一个参考，它说轨迹的初始猜测可以是初始位置$x_0$其余位置可以是初始位置加上围绕问题长度尺度的变化$x_0 + \delta_j, j =1, \dots, N-1$. （此处为第 39 页）。但是它仍然不起作用。我试图使变化更小，但仍然不起作用。似乎要让它发挥作用，我需要为它提供一个与实际轨迹相当接近的近似值，但这违背了练习的目的。这是代码：

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
import matplotlib.pyplot as plt

%matplotlib inline

t_i = 0
t_f = 7
N = 100
delta_t = (t_f - t_i)/N
m = 1
k = 1

def action(x, N, m, delta_t, k):
    """
    This function will take in an array of positions x_i w/ x_i = x(t_i). Then it computes the action for this trajectory.
    We want to, given an initial position and a guess for the rest of the components, find the set of x_i which minimizes
    the action, and return it. Scipy 'optimize' does it. See the first example in the documentation for a similar problem.
    """
    tot = np.array([])
    for i in range (0,N-1):
            np.append(tot,((m/(2*delta_t))*((x[i+1]-x[i])**2)-((k*delta_t)/2)*((x[i])**2)))
    return np.sum(tot)

x_0 = np.ones(100)
var = np.random.rand(100)
x0 = x_0 + var

res = minimize(action, x0, args=(N, m, delta_t, k), method='Nelder-Mead',options={'disp': True})

time = np.linspace(0,7,100)

fig = plt.figure()
axes = fig.add_axes([0,0,1.25,1])
axes.plot(time,res.x)