计算科学 - 初始值为分母根的 ODE 的 Runge-Kutta 方法 - 吾爱随笔录

初始值为分母根的 ODE 的 Runge-Kutta 方法

计算科学颂数字龙格库塔微分方程

2021-12-08 22:39:15

我在 Fortran 中编写了一个代码来使用 RK4 方法求解这个微分方程：

\frac{d y}{d x} = A \sqrt{\frac{B}{y} + \frac{C}{y^{2}}}

$\frac{dy}{dx}=A\sqrt{\frac{B}{y}+\frac{C}{y^2}}$

$A$ , $B$ ，和 $C$ 是一些已知的常数。问题是我的初始值是 $x=0$ 和 $y=0$ 因为 $y=0$ 是分母的根我得到一个运行时错误。

有谁知道我该如何解决这个问题？

3个回答

你的问题不是很好。两边乘以 $|y|$ 以形式获得 ODE

| y (x) | y^{'} (x) = A \sqrt{B y (x) + C} .

$|y(x)| y'(x) = A \sqrt{By(x)+C}.$ 如果您的初始条件是

y (0) = 0

$y(0)=0$ ，那么在最初的时候你有

0 y^{'} (0) = A \sqrt{C} .

$0 y'(0) = A\sqrt{C}.$ 这意味着如果

A \sqrt{C} \neq 0

$A\sqrt{C}\neq 0$ , 没有值

y^{'} (0)

$y'(0)$ 可以满足方程。

换句话说，您的问题不在于您不知道如何说服您使用的任何 ODE 积分器来接受您的初始条件。你的问题是你的数学模型没有意义。

积分曲线的整体形式如下图所示，它们有垂直渐近线在 $y=0$ ，这肯定会给从 $y=0$ （x 无关紧要）。这并不一定意味着问题不成立；如果积分曲线随着初始条件的变化而迅速发散，即缺乏 Lyapunov 意义上的稳定性，就会出现这种情况。但是对于手头的 ODE，一个简单的解决方法是走一小步 $\epsilon$ 更多 $y=0$ 并从那里整合，整合曲线将保持接近精确曲线。

如果常数为正，则 $y$ 是积极的和设置 $u=y^2$ 你得到

u^{'} = 2 A \sqrt{B \sqrt{| u |} + C}

$u'=2A\sqrt{B\sqrt{|u|}+C}$ 这更规则一些，并允许初始值

u (0) = 0

$u(0)=0$ 没有奇点。

这个方程在接近初始点时仍然是僵硬的，这应该会对固定步长 RK4 的局部误差产生影响，只要 $u$ 接近于零。人们可以通过最初使用较小的步长来抵消这一点。

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