计算科学 - 从梯度方程编写单个 PDE - 吾爱随笔录

计算科学 pde 康索尔

2021-12-04 22:38:18

我有一个这样的微分系统，其中是一个标量值未知函数：我正在尝试解决它在 FEM 求解器 (COMSOL Multiphysics) 中，其中将是我的因变量，而是已知函数。 $\Phi$

\nabla Φ = {(f_{1} (x, y), f_{2} (x, y))}^{T}

$\nabla\Phi = \left(f_1(x, y), f_2(x,y)\right)^T$

Φ

$\Phi$

f_{1}, f_{2}

$f_1, f_2$

通常，描述因变量的 DE将具有以下形式：其中是和的函数。上面，我们有一个单一的微分方程，对于一个单一的标量值未知。 $u$

f_{1} \frac{\partial u}{\partial x} + f_{2} \frac{\partial u}{\partial y} = f_{3}

$f_1\frac{\partial u}{\partial x}+f_2\frac{\partial u}{\partial y} = f_3$

f_{1}, f_{2}, f_{3}

$f_1, f_2, f_3$

x, y

$x, y$

u

$u$

u

$u$

但是在我描述的问题（第一个方程）中，我有一个未知的标量，但是有两个单独的微分方程。如何将其转换为单个微分方程以在 COMSOL 中求解？因为 COMSOL 接受每个因变量一个微分方程。 $\Phi$

2个回答

你的方程不是很好：对于一般函数，没有函数可以满足方程。例如，如果您有，那么您正在寻找使得和但是这些方程中的第一个意味着而第二个意味着这是一个矛盾。 $f_1,f_2$ $\Phi$ $f_1=f_2=x$ $\Phi(x,y)$

Φ_{x} = x

$\Phi_x = x$

Φ_{y} = y .

$\Phi_y = y.$

Φ = x^{2} + b y + c

$\Phi = x^2+by+c$

Φ = x y + d x + e .

$\Phi = xy+dx+e.$

换句话说，你必须回到绘图板上，想想你得到的方程来自哪里，以及它的推导错误在哪里。

（或者，当然，函数可能满足非常特定的条件来保证解决方案的存在。但是您将希望在您的解决方案方法中利用这些条件。） $f_1,f_2$

要使这个问题适定，充分必要条件是。如果满足，则是一个势场，它由下式给出 $\partial_y f_1 = \partial_x f_2$ $\Phi$

$\Phi(\vec{r}) = \Phi(\vec{r}_0) + {\large\int}_{\vec{r}_0}^{\vec{r}} (f_1,f_2)^T \cdot d\vec{r}$

在哪里 $\vec{r}=(x,y)$ 和 $\vec{r}_0=(x_0,y_0)$ 是参考位置。

或者，可以将其转换为泊松方程的形式，该方程可以通过标准数值技术求解（提供适当的边界条件）

$\nabla^2 \Phi = \rho,$

在哪里 $\rho = \partial_x f_1 + \partial_y f_2$

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