计算科学 - 证明最大化器集与目标函数中的参数无关 - 吾爱随笔录

计算科学优化变分微积分

2021-12-24 22:46:05

最大化问题读作

J (y) = \sum_{k = 1}^{K} σ_{k} (y)^{q} \overset{y}{\to} m a x

$J(y) = \sum_{k=1}^{K} \sigma_k(y)^q \mathop{\rightarrow}^{y} max$ 在哪里

q \in [1, \infty]

$q \in [1,\infty]$ 是用户定义的参数和函数

σ_{k}, k = {1, \dots, K}

$\sigma_k, k=\{1,\dots,K\}$ 对于任何给定的满足这两个条件

y

$y$ ：

σ_{1} (y) \geq σ_{2} (y) \geq \dots \geq σ_{K} (y) \geq 0.

$\sigma_1(y) \geq \sigma_2(y) \geq \dots \geq \sigma_K(y) \geq 0.$

和

\sum_{k = 1}^{K} σ_{k} (y) = K

$\sum_{k=1}^{K} \sigma_{k}(y) = K$

我想证明 $J(y)$ 是独立的选择 $q$ .

1个回答

继我对原始问题的评论之后，我终于设法构建了一个反例，表明该陈述实际上并不正确。定义函数的正部分，

[x]^{+} = {\begin{cases} x & if x \geq 0 \\ 0 & otherwise. \end{cases}

$[x]^+ = \begin{cases}x & \text{if $x\ge 0$} \\ 0 & \text{otherwise.}\end{cases}$ 让

σ_{1} (y) = 1 + {[\frac{1}{4} - | y - 1 |]}^{+}

$\sigma_1(y) = 1+ \left[\tfrac 14 - |y-1|\right]^+$ 和

σ_{2} (y) = {[\frac{1}{2} - | y |]}^{+} .

$\sigma_2(y) = \left[\tfrac 12 - |y|\right]^+.$ 这些都是具有请求排序的非负函数。它们看起来像这样：

关键是

σ_{2}

$\sigma_2$ 比凸点大

σ_{1}

$\sigma_1$ ，因此它们总和的最大值为

y = 0

$y=0$ . 但

σ_{1} \geq 1

$\sigma_1\ge 1$ ，所以如果你取它的正能量，它的凸起会变大；另一方面，

σ_{2} < 1

$\sigma_2<1$ 因此，如果您使用它的一些力量，它的凸起会变小。确实，同时绘制

σ_{1} (y) + σ_{2} (y)

$\sigma_1(y)+\sigma_2(y)$ 和

σ_{1} (y)^{4} + σ_{2} (y)^{4}

$\sigma_1(y)^4+\sigma_2(y)^4$ 展示了它是如何工作的：

换句话说，对于

q = 1

$q=1$ 最大值在

y = 0

$y=0$ , 而对于

q = 4

$q=4$ ，它是在

y = 1

$y=1$ . 这与您声称的最大化器位置的独立性相矛盾。

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