您只需沿其他维度添加扩散。这种来自正交方向的叠加是有道理的，因为它们是独立的。

因此，通过维基百科了解Fick 的一维扩散第二定律：

$$\frac{\partial \psi}{\partial t} = D \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}$$

我们将其扩展到 2d 为：

$$\frac{\partial \psi}{\partial t} = D \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + D \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}$$

二阶导数称为“拉普拉斯算子”，对于向量微积分（超过一维），您可能会看到它被标记为。当应用于标量值时，如这里，它表示相对于每个维度的偏微分之和。$\nabla^2$

你需要“离散化”这个。（稍后我可能会在此处添加详细信息。）

一维扩散（步骤 3） 和二维扩散（步骤 7）的数学、离散化和 Python 代码

我认为一旦您看过 2D 案例，将其扩展到 3D 将很容易。

然而，这种扩散不会很有趣，只是一个圆形（或 3d 中的球体）在中心具有较高浓度（“密度”）随着时间的推移而扩散 - 就像热扩散通过均匀的金属一样。虽然我已经在这里解决了您关于多维扩散的具体问题，但从“从容器一侧释放的墨水”和#advection-diffusion 标签可能是您想要模拟通过流体的扩散，这需要流体模拟，当然更复杂。

在这种情况下，我建议先查看上述完整的 12 个步骤。