Stack Overflow上也有人问过这个问题。

这是一个非常普遍的问题，关于一组线性方程组的最大大小，由当今最快的硬件求解，形式为：

我们在哪里解决$X$， 和

• $A$：$N\times N$一个稀疏的浮点矩阵；

• $B$：$N$- 浮点数向量。

这变成$X(I-A) = B$正如我在这里读到的，最好使用分解（而不是矩阵求逆）来解决。

您是否知道或参考了基准或论文，该基准或论文给出了一些最大值$N$拥有当今最快的硬件？假设我可以拥有那个硬件，这是一种心理假设练习。我见过的大多数基准测试都使用$N < 10000$. 我在考虑$N>10^7$或更多要在一个月内处理。

请不仅考虑计算维度，还要考虑存储$A$. 这可能是一个问题，例如，假设$N = 10^6$，存储将是$4\times 10^{12}$字节$\approx$4 TB 用于一个完全密集的矩阵，我猜这是可以管理的。

最后，解决系统的方法是否可以并行化，以便我可以假设并行化$N$能变大吗？

后来除了问题：

一个可能的应用是：考虑来自工厂的 N 种产品（例如螺钉、电动机、发动机、汽车）。大多数产品需要来自其他产品的零件，并用作其他更复杂产品的零件，除了一些在商店结束的数量 - 例如电动机。

为了$i^{th}$我们拥有的产品： $X_i = a_{i,1} X_1 + a_{i,2} X_2 + \cdots + a_{i,N} X_N + B_i$ 意味着数量$X_i$我们的目标是生产需要$a_{i,1} X_1$产品中的物品$X_1$， 到$N$, 加上$B_i$这是最终在商店中用于一般消费的东西。

我们的目标是在给定最终需求的情况下找到该问题的解决方案（$B$) 和“相互依赖”的数量$A$.

我猜$A$是稀疏的，但这可能取决于应用程序，例如，丰田声称一辆基本汽车由 30,000 种其他产品组成（全部分解为螺丝）。这就是为什么我提到稀疏但我也选择“温和密集”的最坏情况。