计算科学 - 如何表示矩阵变量 X 的加权核范数并通过 CVX 函数将其最小化，或通过其他可能的包解决它 - 吾爱随笔录

我想最小化，其中是一个矩阵变量维数为，是一个已知矩阵。我尝试了以下代码： $f(x) = \mathrm{Tr}(\sqrt{\mathbf{X}^{T}\mathbf{X}}\mathbf{A})$ $\mathbf{X}$ $d \times d$ $\mathbf{A}$

cvx_begin
    variable x(d,d)
    minimize(trace(sqrt(sum_square_abs(x))*A)) 
    subject to
        x(sp_index) == M(sp_index)
cvx_end

但是，仍然存在以下错误：

Error using cvx/sqrt (line 61)
Disciplined convex programming error:
Illegal operation: sqrt( {convex} ).

Error in Test_CVX_Iterative_Optimal (line 34)
    minimize(trace(sqrt(sum_square_abs(x))*A))

那么我应该如何通过CVX解决这个问题呢？期待你的答复！我还在 CVX 论坛 http://ask.cvxr.com/question/2894上问了同样的问题，但还没有解决。希望这里的任何人都能够提供帮助！

更新：感谢@DavidKetcheson，我应该使用sqrtm()而不是sqrt. 为了表示我应该使用. 但是，我需要表示，我不知道如何用有效的 CVX 表达式来表示它. $\mathrm{Tr}(\sqrt{\mathbf{X}^T\mathbf{X}})$ trace_sqrtm(sum_square_abs(x)) $\mathrm{Tr}(\sqrt{\mathbf{X}^T\mathbf{X}}\mathbf{A})$

我试过了

minimize(trace(sqrtm(sum_square_abs(x))*A))

替换sqrt原来的，但我收到以下错误

Undefined function 'schur' for input arguments of type 'cvx'.

Error in sqrtm (line 32)
[Q, T] = schur(A,'complex');  % T is complex Schur form.

Error in Test_WeightNucNorm (line 35)
        minimize(trace(sqrtm(sum_square_abs(x))*A))

我现在明白这个sqrtm()函数没有在 CVX 中实现，所以我有错误'未定义的函数'schur'对于'cvx'类型的输入参数。'。但是我的问题仍然没有解决。

我想我应该使用：

minimize(trace_sqrtm(sum_square_abs(x))*A)

但我仍然收到错误：

Error using cvx/trace_sqrtm (line 9)
Input must be affine.

Error in Test_WeightNucNorm (line 40)
        minimize(trace_sqrtm(sum_square_abs(x))*A)

---------- 重要更新感谢@k20，我犯了一个错误！！这不是矩阵的加权迹！现在我的问题变成了：如何表示矩阵的加权核范数，其中是 CVX 变量，是对角权重矩阵。 我试图找到一个 CVX 函数，它给我变量的所有奇异值，但我还没有找到这样的函数。 $\mathbf{X}$ $\sqrt{\mathbf{X}^T\mathbf{X}}$ $\mathbf{X}$ $\mathbf{X}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{X}$