正如@AronAhmadia 提到的，将其中一个点移到原点提供了一个排名变化的简单示例。考虑以下和的情况：$n=2$$d=2$

$$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I,$$

其中显然和具有相同的排名。但是，如果我们将原点移到点来定义$\text{rank}(X)=2$$G=XX^T=I$$[1,0]^T$

$$\tilde X = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix},$$

然后。$\text{rank}(\tilde X)=\text{rank}(\tilde G)=1$

对于您更新的问题，答案仍然保持不变，如果分数分布不均，您仍然可能由于配置变化而失去排名。回到Jack Poulson 的答案，现在想象一个的情况，但是除了一个之外的每个点都沿着轴。假设最后一点在另一个轴上。如果您的线性移位将上的点移动到，则移位后的 Gram 运算符的等级将变为一维。$n >> 2$$(1,0)$$(0,1)$$(0,1)$$(0,0)$