如果你求解瞬态热方程

$$\frac{\partial u}{\partial t} - k\nabla^2u = 0$$

很长一段时间，然后你求解泊松方程

$$-k\nabla^2u = 0$$

在相同的边界条件下，您应该得到大致相同的结果。但是我们必须定义什么是“非常长”的时间。

您可以将时间相关问题的解决方案写为

$$u(t) = \sum_ke^{-k\lambda_nt}\langle \phi_n, u(0)\rangle\phi_n + u(\infty)$$

在哪里$\phi_n$,$\lambda_n$是域上拉普拉斯算子的特征函数和特征值，$u(0)$是初始值，并且$u(\infty)$是稳态值。对于 0 阶，您只关心最小的特征模态，因为所有其他特征模态衰减得更快。如果$R$是你可以在域内内接的最大圆的半径，那么

$$\lambda_1 \ge \pi^2 / R^2.$$

（请参阅这些注释，这是 Cheeger 不等式的结果。）所以如果$\pi^2 kt / R^2$大于 5 或​​ 10，您应该非常接近稳定状态。

现在，您提到了 Jacobi、Gauss-Seidel 和 SOR 方法。这些迭代方法最终会收敛到线性系统的实际解。 但它们本身的速度是出了名的慢，对于最小的本征模，它们的收敛速度最慢 $\phi_1$，当您正在寻找放松到稳定状态时，这是最重要的一个。所以如果你发现你的数值解$u(t)$与$u(\infty)$即使对于大$t$，它实际上可能是使用缓慢收敛的迭代方法的结果。在那种情况下，我会考虑使用稀疏直接求解器。