计算科学 - 两个张量点积的梯度 - 吾爱随笔录

两个张量点积的梯度

计算科学矩阵张量

2021-12-14 02:30:36

通过获得流体力学问题中力平衡方程的另一种形式，我停在了必须证明和是二阶矩阵的这个恒等式：如何使用索引符号导出它？编辑我从这里找到了这个证明。在此处输入图像描述除了我猜存在两个错别字（例如代替），我不明白转换为。我也更喜欢完整的索引符号 $A$ $B$

\nabla (A . B) = (\nabla A) . B + A^{T} . (\nabla B)

$\nabla(A.B)=(\nabla A).B + A^T .(\nabla B)$

\nabla . A

$\nabla .A$

\nabla A

$\nabla A$

B_{, m}

$B_{,m}$

e_{m} . \nabla B

$e_m . \nabla B$ 证明而不是部分索引。
编辑
通过点积，我的意思是指数之一的收缩。

1个回答

$\def\p{\partial_{p}}$ 链接的论文没有经过同行评审，结果明显错误。

用索引符号扩展表达式产生其中是一个四阶张量，它置换了最后两个索引，其分量可以用克罗内克 delta 符号表示为

\begin{aligned} H & = \nabla (A \cdot B) \\ H_{p i k} & = \partial_{p} (A_{i j} B_{j k}) \\ = (\partial_{p} A_{i j}) B_{j k} + A_{i j} (\partial_{p} B_{j k}) \\ = (\partial_{p} A_{i j}) B_{j k} + (\partial_{p} B_{k j}^{T}) A_{j i}^{T} \\ H & = (\nabla A) \cdot B + ((\nabla B^{T}) \cdot A^{T}) : E \end{aligned}

$\eqalign{ {\cal H} &= \nabla(A\cdot B) \\ {\cal H}_{pik} &= \p(A_{ij}B_{jk}) \\ &= (\p A_{ij})B_{jk} + A_{ij}(\p B_{jk}) \\ &= (\p A_{ij})B_{jk} + (\p B_{kj}^T)A_{ji}^T \\ {\cal H} &= (\nabla A)\cdot B + \Big((\nabla B^T)\cdot A^T\Big):{\cal E} \\ }$

E

${\cal E}$

\begin{aligned} E_{i j k ℓ} & = δ_{i ℓ} δ_{j k} \end{aligned}

$\eqalign{ {\cal E}_{ijk\ell} &= \delta_{i\ell}\,\delta_{jk} \\ }$

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