计算科学 - 摆方程的数值解 - 吾爱随笔录

摆方程的数值解

计算科学颂

2021-12-18 02:33:29

给定一个方程组：

\begin{aligned} f^{″} (x) = - a \cdot \sin (f (x)) \\ f (0) = b \\ f^{'} (0) = c \end{aligned}

$\begin{align} &f''(x) = -a \cdot \sin(f(x))\\ &f(0) = b\\ &f'(0) = c \end{align}$

$a, b, c, dt, N$ 是任意参数。

如何获得 $f(0), f(dt), f(2dt) ... f(N)$ 的值。我被第一个方程右边部分的非线性所困扰。

如果有人能向我展示一个计算这个的算法的实现，我会很高兴。

1个回答

使用函数 , ,，我们得到一个自治一阶系统的初值问题：我们现在为数值解选择欧拉方法：。位置产生近似值。 $y_1 := f$ $y_2 := f'$ $\pmb{y} := (y_1,y_2)^{\top}$

y y^{'} = (\begin{matrix} y_{2} \\ - a \sin (y_{1}) \end{matrix}) =: f f (y y), y y (0) = (\begin{matrix} b \\ c \end{matrix}) =: y y_{0} .

$\pmb{y}' = \left( \begin{array}{c} y_2\\ -a \sin(y_1) \end{array} \right) =: \pmb{f}(\pmb{y}), \quad \pmb{y}(0) = \left( \begin{array}{c} b\\ c \end{array} \right) =: \pmb{y}_0.$

y y_{i} = y y_{i - 1} + h f f (y y_{i - 1}),

$\pmb{y}_i = \pmb{y}_{i-1} + h \pmb{f}(\pmb{y}_{i-1}),$

i = 1, 2, \dots

$i = 1, 2, \dots$

y y_{i} ≃ y y (x_{i})

$\pmb{y}_i \simeq \pmb{y}(x_i)$

x_{i} = i h

$x_i = ih$

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