计算科学 - 最小二乘拟合 - 吾爱随笔录 - 问答

最小二乘拟合

计算科学线性代数线性求解器最小二乘

2021-12-04 06:11:51

我遇到了以下等式，它是使用最小二乘法求解的

$x = \sum_{n=1}^{N} A_{n} y_{n}$

其中 $x$ 是一个 $m \times p$ 矩阵，并且 $y$ 的大小也是 $m \times p$ ，其中 $p=N$ 。 x和都是已知的。计算的权重。 $x$ $y$ $A_n$ $y_{n}$

如何进行最小二乘近似来求解中的每一列 $A_n$ 只有 1 个值？通常最小二乘法（在 MATLAB 中）需要一个矩阵和一个列向量，但在这种情况下有 2 个矩阵。我在这里缺少任何标准技术吗？ $A_n$ $y$

1个回答

这里的符号非常混乱，这可能是您难以将其表述为线性最小二乘问题的主要原因。

引入符号 $\mbox{vec}(x)$ 用于通过连续获取 x 矩阵的列形成的 $mp$ x 向量。例如 $1$ $m$ $p$ $x$

$\mbox{vec}\left( \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{array} \right] \right)= \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 2 \\ 5 \\ 3 \\ 6 \\ \end{array} \right].$

显然，两个矩阵和相等当且仅当。 $A$ $B$ $\mbox{vec}(A)=\mbox{vec}(B)$

现在，您的模型可以写成

$\mbox{vec}(x) = \sum_{i=1}^{N} A_{i} \mbox{vec}(y_{i})$

令为 by矩阵，其，对于。认识到这个方程涉及矩阵乘法，我们可以将模型写为 $H$ $mp$ $N$ $\mbox{vec}(y_{i})$ $i=1, 2, \ldots, N$

$\mbox{vec}(x)=HA$

其中是大小为的，是长度为的已知向量，是长度为的未知向量。这是一个可以用标准软件解决的传统线性最小二乘问题。 $H$ $mp$ $N$ $\mbox{vec}(x)$ $mp$ $A$ $N$

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