首先，我注意到您的初始条件不满足边界条件，因此您可能希望改用。$u_0(x) = e^{-x^2} - e^{-L^2}$

对像你这样的问题的一个很好的理智检查是守恒属性——你的总质量保持不变。$u$

$$\begin{align} \frac{d}{dt}\int_{-L}^Lu\, dx & = \int_{-L}^L\frac{\partial u}{\partial t}dx \\ & = \int_{-L}^L\frac{\partial}{\partial x}\left(vu + u^2\frac{\partial u}{\partial x}\right)dx \\ & = \left(vu + u^2\frac{\partial u}{\partial x}\right)\Big|_{x=-L}^{x=L} \\ & = 0, \end{align}$$

因为您假设在两个端点。在这里，我为平流场写 ，但只要你有相同的非线性扩散系数，是多少，这种关系都会成立。从您显示的图中，看起来您获得的数值解似乎是单调递减的，这将违反守恒特性。这表明您的数值实现存在错误。$u = 0$$v = \text{sign}(x)$$v$

当我遇到这样的问题时，我通常会尝试想出一个更简单的系统，看看我能不能先解决这个问题。例如，如果去掉平流项会发生什么？偏微分方程

$$\partial_tu = \partial_x(u^2\partial_xu)$$

本身就足够具有挑战性——这是一个自由边界问题。同样，如果你去掉扩散项然后平滑平流场会发生什么？你能得到一个很好的近似解吗

$$\partial_tu = \partial_x(\tanh(x/\epsilon)u)$$

对于的不同值？从开始，然后在将其减小到等于网格间距时看看情况如何。您甚至可以使用特征方法写下分析解决方案。这两个简化的问题都具有守恒原理和其他内在数学属性，您可以将其用作健全性检查。$\epsilon$$\epsilon = L / 2$$\delta x$