计算科学 - Heat方程有限元离散化的算子范数 - 吾爱随笔录

我正在求解通过 FEM 在空间上离散化并通过反向欧拉在时间上离散化的热方程。我得到系统

M \dot{u} = K u + f

$M \dot{u} = K u +f$ 在哪里

u

$u$ 是表示空间位置解的向量。

对于分段线性基函数，质量矩阵定义为刚度矩阵 $K$ 是

通过及时离散化，我得到

u_{k + 1} = A u_{k} + B y_{k}

$u_{k+1} = Au_k + By_k$ 对于一些矩阵

B .

$B.$ 这里，

A = (I - Δ t M^{- 1} K)^{- 1}

$A = (I-\Delta t M^{-1}K)^{-1}$ 在哪里

Δ t

$\Delta t$ 是时间步长。

是否可以证明

‖ A ‖_{2} < 1

$\|A\|_2 < 1$ 对于足够小？我想要一个无需在 Matlab 中计算的分析解决方案。

Δ t

$\Delta t$

我很难分析这个，因为不是对称的，尽管是对称的。否则，我可以使用光谱半径和 2 范数重合的事实。 $M^{-1}K$ $M,K$