计算科学 - 加权蒙特卡洛积分 - 吾爱随笔录

加权蒙特卡洛积分

计算科学蒙特卡洛一体化随机数生成

2021-12-01 08:59:27

我有一个功能 $F(x)$ 它呈指数下降（如差分 QCD 横截面与不变质量）。我想执行蒙特卡洛积分。问题是只有很小的 $x$ 有大的 $F(x)$ 被计入。我的意思是如果范围 $x$ 是 $[1, 8]$ TeV，最大值 $F$ 是 $F(1)$ 和最小值 $F$ 是 $F(8)$ 相差8个数量级。因此，只有随机生成 $x$ 接受接近 1 的。我怎样才能产生大 $x$ ? 谢谢

1个回答

怎么划分区间 $[0,0.6]$ 在子区间 $[x_i,x_{i-1}]$ 所以在每一个中，函数值都具有相同的数量级？例如，您可以选择 $x_0 =0$ , $x_{m}=0.6$

x_{i} | 0 < i < m \land F (x_{i}) = 10^{i}

$x_i \;|\; 0<i<m \; \wedge \;F(x_i) = 10^i$ 然后你可以对每一个进行积分并对部分结果求和以获得总积分。

我从来没有这样做过，但这是我首先要尝试的。每个区间最右边的贡献可能会被低估，但至少这种影响会降低。

还要确保正确考虑错误（它们取决于您的具体方法）：如果凹凸的贡献小于不确定性，则您必须减少错误（我想这是您的情况，因为您对凹凸）或者你可以忽略凹凸。

如果你尝试这个，让我知道它是否有效！

详细实现

（伪代码）

hit = 0
miss = 0
x = generate_random(x_interval)
y = generate_random([0,max_of_function])
if(F(x)>y) hit++ 
else if(F(x)<y) miss++
percentage_hits = hit/(hit+miss)
total_area = (x_interval*max_of_function)
function_area = percentage_hits * total_area

现在您选择了 x_interval 中的区域。对每个间隔计算相同的值，然后对所有部分区域求和。

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