我正在研究求解线性系统的迭代方法，我在维基百科中找到了以下设置：
考虑矩阵拆分$A = M-N$， 在哪里$A,M,N$都是对称的正定矩阵。定义迭代矩阵$C=I-M^{-1}A$. 我们旨在证明条件数$\kappa(I-C)=\kappa(M^{-1}A)$不是太大，这确保了迭代方法收敛得相当快。维基百科给出了以下限制$\kappa(M^{-1}A)$：

$$\kappa(M^{-1}A) \leq \frac{1+\rho(C)}{1-\rho(C)}$$ 在哪里$\rho(C)$表示矩阵的光谱半径$C$. 这里我们取的是关于欧几里得 2 范数的条件数。也就是说，我们有$\kappa(M^{-1}A) = \frac{\sigma_{max}(M^{-1}A)}{\sigma_{min}(M^{-1}A)}$， 在哪里$\sigma_{max},\sigma_{min}$分别表示任何矩阵的最大/最小奇异值。
关于证明这个上限的任何想法？任何帮助/提示将不胜感激！
（参考链接：https ://en.wikipedia.org/wiki/Preconditioner ）