我已经改写了我原来的问题，以便更清楚：
据我了解，多极展开用于近似点簇的电位，并且可以在足够远的任何点进行评估。假设您在框 A 中有一组点，该点以空间 Q 中的某个点为中心。这些点的电势可以通过在某个点 P 评估的多极电势来近似，使用：
其中引变量是坐标 P - Q。
现在假设我们要找到框 A 的父框的多极势。当然，我们可以通过找到父框中的点簇并重新计算多极展开来重新开始。但可以肯定的是，我们希望减少计算时间，因此最好从父级的子级形成父级多极展开。
如果我们找到之前为所有子级给出的多极展开，则在某个点 P 归因于父级的势势当然是子级在 P 处评估的多极展开的总和。（注意：数学对此是正确的，并且它完全有意义，因为势能遵循叠加原理）
然而，通常用于将子级多极展开转换为其父级的平移定理由下式给出：
很明显，可以添加多极展开来形成父展开。为什么在将子扩展转换为父扩展时使用不同的翻译定理？这个翻译定理是否适用于不同的环境？
资料来源：快速多极方法的短期课程
FMM 已经被详尽地研究过了，所以如果人们没有做一些看起来很明显的事情，那么他们没有做这件事可能有一个相当明显的原因。这并不是说没有什么新东西可以发现，而是说它是老生常谈的地方。
我认为你在这里遗漏的主要事情是每个盒子的多极展开都写在局部坐标系中，例如相对于每个盒子的中心。假设你的盒子 A 有八个孩子，每个孩子都以. 您是正确的，可以评估此时的八个多极展开并获得正确的结果，但意识到你必须表达在相对于每个坐标得到正确的答案。只需将系数相加并使用不会产生正确的答案。相反，您必须将这些扩展重新集中在父点周围使用上述定理，然后将它们加在一起。有关参考，请参阅有关固体谐波加法定理的 Wikipedia 页面。
以下内容与您在原始帖子中提出的问题有关。我把它留在这里。
在计算不同级别的盒子之间的多极到局部（外部到内部）的转换时，让我们考虑最坏的情况。
想象一下，你有两个粒子位于位置和. 盒子带直径包含点和盒子带直径包含点, 并让盒子相隔一盒直径. 定义， 在哪里是从盒子中心开始的向量到盒子的中心.
FMM 级数展开的收敛依赖于比率很小。可以很容易地表明，当您放置点时在它们各自框的对角，比率，使加法定理无效。对于接近这个的配置，该比率仍将接近 1，并且需要大量的项才能达到任何有用的精度。