考虑域的以下一维逻辑函数$0$到$1$.

$$f(x) = \frac{1}{1 + \exp(-50(x-0.5))}$$

假设我在两个网格上解决了这个问题：

• 首先有 11 个等间距点 (0.0, 0.1, 0.2, ... 1.0)
• 第二个有 101 个等间距点 (0.0, 0.01, 0.02, ... 1.0)

两个网格的图如下所示（蓝色是第一，绿色是第二）：

如何计算两个网格的误差范数？我不知道 L2 规范是否是最佳选择，但可以说是。在这种情况下，L2 范数的离散版本通常表述如下：

$$||\mathrm{error}||_{2} ^{2} = h \sum_{i} |f_{i,\mathrm{ref}} - f_{i,h}|^2$$

在哪里$f_{i,h}$是网格点处给定网格的函数值$i$， 和$f_{i,\mathrm{ref}}$是用作参考的解析函数的值。

然而，这对于两种情况都会产生零误差范数，因为在网格点处评估的函数是精确的，即它直接来自解析表达式。但是我们可以在图中清楚地看到，对于具有 11 个点的网格，这是一个错误的答案，即在域中间附近的误差应该是非零的，从而导致非零误差范数。101 点的零错误答案也是错误的，但在图中错误不是很明显（但由于离散化/采样，它仍然存在）。换句话说，与第一个网格相比，第二个网格减少了误差。（我描述的是初学者的东西；只是把事情放在上下文中）。

对于正确的误差计算，一种可能的替代方法是通过求积计算范数。但在我们考虑求积之前，我们需要计算误差函数本身。但是我们该怎么做呢？我们是否使用高分辨率网格（如 1001 或 10001 点）来解决问题$f_{i,\mathrm{ref}}$以及插值$f_{i,h}$（假设我们使用线性插值）？但这感觉非常草率/临时。有没有更好、更系统的方法？

（我只是想找出对网格分辨率进行此类错误分析的“标准”方法是什么，以便我可以证明与第一种情况相比，第二种情况的错误有所下降。任何提示对非结构化网格进行类似的二维分析也将受到高度赞赏）。