计算科学 - 使用 Numerov 方法的一维薛定谔方程解 - 吾爱随笔录

我一直在尝试使用 Numerov 方法在一维中求解时间无关薛定谔方程，正如我在网上找到的这个优秀的讲义中所讨论的那样。

Numerov 方法可以求解以下类型的方程：

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - g (x) y (x) + s (x)

$\frac{{d^2}y}{dx^2}=-g(x) y(x) +s(x)$

我们可以将其与时间无关薛定谔方程进行比较：

\frac{d^{2} ψ}{d x^{2}} = - \frac{2 m}{{\bar{h}}^{2}} (E - V) ψ

$\frac{{d^2}\psi}{dx^2}=-\frac{2m}{\bar h^2} \big(E-V) \psi$

其中 $g(x)= -\frac{2m}{\bar h^2}(E-V)$

我们可以使用泰勒展开将方程离散化并将迭代公式写为：

ψ_{i + 1} = \frac{ψ_{i} [2 - \frac{5}{6} \cdot h^{2} g_{i}] - ψ_{i - 1} [1 + \frac{h^{2}}{12} \cdot g_{i - 1}]}{(1 + \frac{h^{2}}{12} \cdot g_{i})}

$\psi_{i+1}= \frac{\psi_i\big[2-\frac{5}{6}\cdot h^2 g_i]-\psi_{i-1}\big[1+\frac{h^2}{12}\cdot g_{i-1}] }{(1+\frac{h^2}{12}\cdot g_i)}$

使用已知的谐波振荡器能量，我求解了方程并且我的解决方案运行良好。

我还使用了拍摄方法来确定特定本征状态的能量值，并获得了很好的结果。

我成功地解决了大多数偶数势的薛定谔方程，包括莫尔斯势和双井势。

如果我尝试采用非对称解决方案，就会出现问题。因为我已经考虑到我的波函数的对称性，并且刚刚从到，然后根据天气通过将奇偶校验乘以 \psi 将输出输出到文件中，所以的函数是奇数或不是。 $\psi$ $x=0$ $x=xmax$ $\psi$

但是当我使用相同的算法解决了从到的相同问题时，我可以为 Numerov 方法设计一个通用算法。输出开始变得奇怪。虽然基态解决方案是相同的，但奇态解决方案正在以某种方式反转。 $x=-xmax$ $x=xmax$

这是我的第一个（工作）Numerov 算法程序的一部分。（忽略signchange计数器我用它来确定拍摄方法的节点数）

cout<<"Enter mesh number"<<endl;
 cin>>n;

 cout<<"Enter maximum value of x"<<endl; 
 cin>>xmax;
 dx=xmax/n;

 if (nodes % 2==0) //Even Nodes, function is even function , i.e. y(-1) =      y(1) and f(-1) = f (1); Thus using algorithm!
        {
      y[0]=1.0;
      y[1]=( y[0]*( 12.0 - 10.0 *f[0] ) )/( 2*f[1] );
    }
  else //nodes are odd, i.e there is a node at x=0;
    {
      y[0]=0;
      y[1]=dx;           //arbitrary small value
    }

    signchange=0;

    //outward integration using algorithm and counting number of sign changes//

 for(int i=1; i <= n; i++) 

    {
      y[ i+1 ]= ( ( 12.0 - 10.0*f[i] )*y[i] -( y[i-1]*f[i-1] ) ) / f[i+1]; 

     if (y[i] != copysign(y[i],y[i+1]))  
       ++signchange;
    }
//For Output :

if (nodes % 2 == 0) 
    p=1;
    else
    p=-1;
    for (int i = n; i > 0; --i)
    file<<setw(1)<<-1*x[i]<<setw(15)<<p*y[i]<<setw(15)<<y[i]*y[i]<<setw(15)<<V[i]<<endl;

    //-------x<0-------//
    for (int i = 0; i <= n; ++i)
    file<<setw(1)<<x[i]<<setw(15)<<y[i]<<setw(15)<<y[i]*y[i]<<setw(15)<<V[i]<<endl;

这是给我反向输出的第二个程序的一部分。我在整个网格中迭代的地方

cout<<"Enter maximum value of x"<<endl;
cin>>xmax;

xmin=-1*xmax;

h=(2*xmax)/n;

y[0]=0;
    y[1]=h;

    /*calculating the wave function psi or y at all points for Energy e*/
        for(int i=1; i <= n; i++) 

    {
      y[ i+1 ]= ( ( 12.0 - 10.0*f[i] )*y[i] -( y[i-1]*f[i-1] ) ) / f[i+1]; 

     if (y[i] != copysign(y[i],y[i+1]))  
       ++signcount;
    }

我很想知道为什么会这样。这对我来说没有意义。但我也是计算物理学的初学者。另外我想知道解决非对称势方程的最佳方法是什么，例如库伦势（逆 R）。

编辑：因为我试图解决谐波振荡器问题，所以波函数应该在两边都绑定。所以我将作为 0。而作为一些随机的小值，稍后将在波函数归一化时将其考虑在内。这适用于我在整个网格中求解方程时的情况，从到。 $\psi_0$ $\psi_1$ $-xmax$ $xmax$

但是当我求解对称势方程时（即从 0 到 xmax），我使用的是我已经知道的解的属性，如果我求解奇能量状态，波将始终为零。我也在代码中提供了我的初始值声明。我希望这有助于澄清我的问题。 $\psi_{x=0}$